在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $\cos \left(A - B\right)\cos B - \sin \left(A - B\right)\sin \left(A + C\right) = - \dfrac{3}{5}$．
【难度】
【出处】
2013年高考四川卷（文）
【标注】
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求 $\sin A$ 的值；标注答案$\sin A = \dfrac{4}{5}$．解析由三角形内角和定理及诱导公式，可以把 $\sin (A+C) $ 化成 $ \sin B $，接着利用两角和的余弦公式得到 $\cos A$，最后根据同角三角函数基本关系可以求得 $ \sin A $ 的值．由\[\cos \left(A - B\right)\cos B - \sin \left(A - B\right)\sin \left(A + C\right) = - \dfrac{3}{5},\]得\[\cos \left(A - B\right)\cos B - \sin \left(A - B\right)\sin B \overset {\left[a\right]}= - \dfrac{3}{5},\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）则\[\cos \left(A - B + B\right) \overset {\left[b\right]}= - \dfrac{3}{5},\]（推导中用到 $ \left[b\right] $．）即 $\cos A = - \dfrac{3}{5}$．又 $0 < A < {\mathrm \pi} $，则\[\sin A \overset {\left[c\right]}=\sqrt {1-\cos ^2 A}= \dfrac{4}{5}.\]（推导中用到 $ \left[c\right] $．）
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若 $a = 4\sqrt 2$，$b = 5$，求向量 $\overrightarrow {BA} $ 在 $\overrightarrow {BC} $ 方向上的投影．标注答案向量 $\overrightarrow {BA} $ 在 $\overrightarrow {BC} $ 方向上的投影为 $ \dfrac{\sqrt 2 }{2}$．解析由正弦定理求角，再由余弦定理求边，最后根据向量数量积求射影即可．由正弦定理，有\[\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B},\]所以\[\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{\sqrt 2 }{2}.\]由题意知 $a > b$，则 $A > B$，故 $B = \dfrac{\mathrm \pi} {4}$，$ \cos B=\dfrac {\sqrt 2}{2} $．根据余弦定理，有\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A, \]即\[{\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} = {5^2} + {c^2} - 2 \cdot 5c \cdot \left( { - \dfrac{3}{5}} \right),\]解得 $c = 1$ 或 $c = - 7$（负值舍去）．故向量 $\overrightarrow {BA} $ 在 $\overrightarrow {BC} $ 方向上的投影为\[ \left|\overrightarrow {BA} \right|\cos B \overset {\left[d\right]}= \dfrac{\sqrt 2 }{2}.\]（推导中用到 $ \left[d\right] $．）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
