题目 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 $ 30 $ 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：\[ \begin{array}{ccccccccc|c|cccccccccc}<br/>&&&&&&&甲&&&&乙 \\ \hline<br/>&&&&&&&&7&4&5\\<br/>&&&&&5&3&3&2&5&3&3&8\\<br/>5&5&4&3&3&3&1&0&0&6&0&6&9&1&1&2&2&3&3&5\\<br/>8&6&6&2&2&1&1&0&0&7&0&0&2&2&2&3&3&6&6&9\\<br/>&&&&7&5&4&4&2&8&1&1&5&5&8\\<br/>&&&&&&&2&0&9&0<br/>\end{array} \] 问题1 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 $ 0.05 $，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（$ 60 $ 分及 $ 60 $ 分以上为及格）； 答案1 甲校高三年级学生总人数为 $ 600 $，估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为 $ \dfrac{5}{6}$． 解析1 先由频率与概率的关系计算甲校高三年级学生总人数，再由茎叶图计算样本的及格率，最后用样本估计总体．设甲校高三年级学生总人数为 $ n $，由题意知，\[\dfrac{30}{n} \overset {\left[a\right]}= 0.05,\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）得 $ n = 600$．由茎叶图，知样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 $ 5 $，故可以据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为 $p = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}$． 备注1 问题2 设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 $\bar x_1 ,\bar x_2 $，估计 $\bar x_1- \bar x_2 $ 的值． 答案2 $\bar x_1 - \bar x_2$ 的估计值为 $ 0.5$ 分． 解析2 先计算甲、乙两校样本的平均成绩，再用样本估计总体．设甲、乙两校样本平均成绩分别为 $\bar x_1' ,\bar x_2' $，根据样本茎叶图可知\[\begin{split}<br/>30\left(\bar x_1'-\bar x_2'\right) & = 30\bar x_1' - 30\bar x_2'= 15 .<br/>\end{split} \]因此 $ \bar x_1' - \bar x_2' = 0.5 $，故 $\bar x_1 - \bar x_2$ 的估计值为 $ 0.5$ 分． 备注2