已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的焦距为 $ 4 $，且过点 $P\left(\sqrt 2 ,\sqrt 3 \right)$．
【难度】
【出处】
2013年高考安徽卷（文）
【标注】
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求椭圆 $ C $ 的方程；标注答案椭圆 $ C $ 的方程为 $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{4} = 1$．解析本题考查椭圆的基本量与方程，只要确定 ${a^2}$，${b^2}$ 的值即可．因为焦距为 $ 4 $，所以\[{a^2} - {b^2} = 4,\]又因为椭圆 $ C $ 过点 $P\left(\sqrt 2 ,\sqrt 3 \right)$，所以\[\dfrac{2}{a^2} + \dfrac{3}{b^2} = 1,\]故\[{a^2} = 8,{b^2} = 4,\]从而椭圆 $ C $ 的方程为 $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{4} = 1$．
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设 $Q\left({x_0},{y_0}\right)\left({x_0}{y_0} \ne 0\right)$ 为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$．取点 $A\left(0,2\sqrt 2 \right)$，连接 $AE$，过点 $A$ 作 $AE$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$．点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $QG$，问这样作出的直线 $QG$ 是否与椭圆 $ C $ 一定有唯一的公共点？并说明理由．标注答案直线 $QG$ 与椭圆 $ C $ 一定有唯一的公共点 $ Q $．解析直线与椭圆的公共点情况，可以联立它们的方程通过分析解的情况而说明．这里需要表示直线 $QG$，故需得到点 $G$ 的坐标，通过 $G$ 的形成过程，容易得到其坐标．由题意知，$ E $ 点坐标为 $\left({x _0},0\right)$，设 $D\left({x _D},0\right)$，则\[\overrightarrow {AE} = \left( {{x_{0}}, - 2\sqrt 2 } \right), \overrightarrow {AD } = \left( {{x_{D}}, - 2\sqrt 2 } \right), \]再由 $AD \perp AE$ 知，$\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$，即\[{x_D}{x_0} + 8 \overset {\left[a\right]}= 0.\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）由于 ${x_{0}}{y_{0}} \ne 0$，故 ${x_D} = - \dfrac{8}{x_0}$．因为点 $ G $ 是点 $ D $ 关于 $ y $ 轴的对称点，所以点 $G\left(\dfrac{8}{{{x_{0}}}},0\right)$．故直线 $QG$ 的斜率\[{k_{QG}} \overset {\left[b\right]}= \dfrac{y_0}{{{x_0} - \dfrac{8}{x_0}}} = \dfrac{{{x_0}{y_0}}}{x_0^2 - 8}.\]（推导中用到 $ \left[b\right] $．）又因为 $Q\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 在椭圆 $ C $ 上，所以\[x_0^2 + 2y_0^2 = 8. \quad \cdots \cdots ① \]从而 ${k_{QG}} = -\dfrac{x_0}{{2{y_0}}}$．故直线 $QG$ 的方程为\[ y = - \dfrac{x_0}{{2{y_0}}}\left( {x - \dfrac{8}{x_0}} \right) . \quad \cdots \cdots ② \]将 $ ② $ 代入椭圆 $ C $ 方程，得\[ \left( {x_0^2 + 2y_0^2} \right){x^2} - 16{x_0}x + 64 - 16y_0^2 = 0. \quad \cdots \cdots ③ \]再将 $ ① $ 代入 $ ③ $，化简得\[{x^2} - 2{x_0}x + x_0^2 = 0,\]解得 $x = {x_0},$ 则 $y = {y_0}$，即直线 $QG$ 与椭圆 $ C $ 一定有唯一的公共点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
