学生甲收到活动通知信息的概率为 $\dfrac{2kn-{{k}^{2}}}{{{n}^{2}}}$．

题中“或”的情况较多，可以利用对立事件的知识，通过求学生甲没收到通知信息的概率来解答．因为事件 $ A $：“学生甲收到李老师所发信息”与事件 $ B $：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以 $ \overline{A} $ 与 $ \overline{B} $ 相互独立，由于\[ P\left(A\right)=P\left(B\right)=\dfrac{{\mathrm{C}}_{n-1}^{k-1}}{{\mathrm{C}}_{n}^{k}}=\dfrac{k}{n} ,\]故\[ P\left(\overline{A}\right)=P\left(\overline{B}\right)\overset {\left[a\right]}=1-\dfrac{k}{n}, \]（推导中用到 $\left[a\right]$．）因此学生甲收到活动通知信息的概率\[ P\overset {\left[b\right]}=1-{{\left(1-\dfrac{k}{n}\right)}^{2}}=\dfrac{2kn-{{k}^{2}}}{{{n}^{2}}}. \]（推导中用到 $\left[b\right]$．）

当 $ {{\left( k+1 \right)}^{2}} $ 能被 $ n+2 $ 整除时，$ P\left( X=m \right) $ 在 $ m=2k-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2} $ 和 $ m=2k+1-\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{n+2} $ 处取得最大值；
当 $ {{\left( k+1 \right)}^{2}} $ 不能被 $ n+2 $ 整除时，$ P\left( X=m \right) $ 在 $ m=2k-\left[ \dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{n+2} \right] $ 处取得最大值．（注 $ \left[ x \right] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数）．

由题意，要先研究随机变量 $ X$ 的取值范围，由于 $k\leqslant n$，故要分两类 $ k=n $ 和 $ k<n $ 进行讨论，$ k=n $ 时易求，$ k<n $ 时要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出 $P\left(X=m\right)$，最后根据其形式研究它取得最大值的整数 $m$ 即可．当 $ k=n $ 时，$ m $ 只能取 $ n $，有\[ P\left(X=m\right)=P\left(X=n\right)\overset {\left[c\right]}=1.\]（推导中用到 $\left[c\right]$．）当 $ k<n $ 时，整数 $ m $ 满足 $ k\leqslant m\leqslant t $，其中 $ t $ 是 $ 2k $ 和 $ n $ 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给 $ k $ 位同学”所包含的基本事件总数为 $ \left({\mathrm{C}}_{n}^{k}\right)^{2} $．
当 $ X=m $ 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数为 $ 2k-m $ 仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数均为 $ m-k $．
由乘法计数原理知：事件 $ \left\{ X=m \right\} $ 所包含基本事件件数为\[ {\mathrm{C}}_{n}^{k}{\mathrm{C}}_{k}^{2k-m}{\mathrm{C}}_{n-k}^{m-k}={\mathrm{C}}_{n}^{k}{\mathrm{C}}_{k}^{m-k}{\mathrm{C}}_{n-k}^{m-k} .\]此时，\[ P\left(X=m\right)\overset {\left[d\right]}=\dfrac{{\mathrm{C}}_{n}^{k}{\mathrm{C}}_{k}^{2k-m}{\mathrm{C}}_{n-k}^{m-k}}{{{\left( {\mathrm{C}}_{n}^{k} \right)}^{2}}}=\dfrac{{\mathrm{C}}_{k}^{m-k}{\mathrm{C}}_{n-k}^{m-k}}{{\mathrm{C}}_{n}^{k}}. \]（推导中用到 $\left[d\right]$．）当 $ k\leqslant m<t $ 时，\[\begin{split} P\left(X=m\right)\leqslant P\left(X=m+1\right) & \Leftrightarrow {\mathrm{C}}_{k}^{m-k}{\mathrm{C}}_{n-k}^{m-k}\leqslant {\mathrm{C}}_{k}^{m+1-k}{\mathrm{C}}_{n-k}^{m + 1-k} \\&
\Leftrightarrow {{\left( m-k+1 \right)}^{2}}\leqslant \left( n-k \right)\left( 2k-m \right) \\& \Leftrightarrow m\leqslant 2k-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2}. \end{split}\]假如 $ k\leqslant 2k-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2}<t $ 成立，则
当 $ {{\left( k+1 \right)}^{2}} $ 能被 $ n+2 $ 整除时，\[ k\leqslant 2k-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2}<2k+1-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2}\leqslant t.\]故 $ P\left( X=m \right) $ 在 $ m=2k-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2} $ 和 $ m=2k+1-\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{n+2} $ 处取得最大值；
当 $ {{\left( k+1 \right)}^{2}} $ 不能被 $ n+2 $ 整除时，$ P\left( X=m \right) $ 在 $ m=2k-\left[ \dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{n+2} \right] $ 处取得最大值．（注 $ \left[ x \right] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数）．
下面用比较法证明 $ k\leqslant 2k-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2}<t $．
因为 $ 1\leqslant k<n $，所以\[ \begin{split}2k-\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{n+2}-k & =\dfrac{kn-{{k}^{2}}-1}{n+2} \\&\geqslant \dfrac{k\left( k+1 \right)-{{k}^{2}}-1}{n+2} \\& =\dfrac{k-1}{n+2} \\& \geqslant 0. \end{split}\]而\[ 2k-\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{n+2}-n=-\dfrac{{{\left( n-k+1 \right)}^{2}}}{n+2}<0, \]故\[ 2k-\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{n+2}<n ,\]显然 $ 2k-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2}<2k $，因此\[ k\leqslant 2k-\dfrac{{{\left(k+1\right)}^{2}}}{n+2}<t. \]