正项数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足：$a_n^2 - \left(2n - 1\right){a_n} - 2n = 0$．
【难度】
【出处】
2013年高考江西卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式 ${a_n}$；标注答案${a_n} = 2n$．解析将所给关系式利用因式分解进行变形即可得出答案．注意取舍解．由 $a_n^2 - \left(2n - 1\right){a_n} - 2n = 0$，得\[\left({a_n} - 2n\right)\left({a_n} + 1\right) = 0.\]由于 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是正项数列，所以 ${a_n} = 2n$．
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令 ${b_n} = \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right){a_n}}}$，求数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${T_n}$．标注答案$ {T_n}= \dfrac{n}{2\left(n + 1\right)} $．解析代入一题的结果，发现数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项可以裂项，故可以采用裂项相消法求解．由 ${a_n} = 2n$，得 ${b_n} = \dfrac{1}{2n{\left(n + 1\right)}}$．可以用裂项相消法求数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${T_n}$．因为\[\begin{split} {b_n} &= \dfrac{1}{2n\left(n + 1\right)} \\ & = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}} \right),\end{split}\]所以\[\begin {split} {T_n} &= \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}} \right)\\& = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{n + 1}} \right)\\&= \dfrac{n}{2\left(n + 1\right)}.\end{split} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
