题目 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin A\sin B + \sin B\sin C + \cos 2B = 1$． 问题1 求证：$a$，$b$，$c$ 成等差数列； 答案1 略． 解析1 观察发现已知条件中有三角形内角的二倍角，故可以利用二倍角公式化简已知条件，而结论是三角形的边成等差数列，故可以用正弦定理化角为边进行证明．由已知得\[\sin A\sin B + \sin B\sin C \overset {\left[a\right]}= 2{\sin ^2}B,\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）因为 $\sin B \ne 0$，所以\[\sin A + \sin C = 2\sin B.\]由正弦定理，得\[a + c = 2b,\]即 $a$，$b$，$c$ 成等差数列． 备注1 问题2 若 $C = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}$，求 $\dfrac{a}{b}$ 的值． 答案2 $ \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{5} $． 解析2 由一题的结论，和本题的条件可以利用余弦定理，得出边 $a$ 与 $ b $ 一个齐次等式．由 $C = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}$，$c = 2b - a$ 及余弦定理，得\[{\left(2b - a\right)^2} = {a^2} + {b^2} + ab,\]即\[5ab - 3{b^2} = 0,\]所以\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{5}.\] 备注2