小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋，游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 ${A_1}$，${A_2}$，${A_3}$，${A_4}$，${A_5}$，${A_6}$（如图所示）这 $ 6 $ 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$，若 $X > 0$ 就去打球，若 $X = 0$ 就去唱歌，若 $X < 0$ 就去下棋．
【难度】
【出处】
2013年高考江西卷（文）
【标注】
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写出数量积 $X$ 的所有可能取值；标注答案$X$ 的所有可能取值为 $ - 2$，$ - 1$，$0$，$1 $解析本题考查平面向量的数量积．数量积$X$ 的所有可能取值为 $ - 2$，$ - 1$，$0$，$1 $．
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分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．标注答案小波去下棋的概率为 $ \dfrac{7}{15}$，不去唱歌的概率为 $\dfrac{11}{15}$解析本题考查古典概型，涉及平面向量数量积的运算，属中档题．数量积为 $ - 2$ 的有 $\overrightarrow {O{A_2}} \cdot \overrightarrow {O{A_5}}$，共 $ 1 $ 种；
数量积为 $ - 1$ 的有\[\overrightarrow {O{A_1}} \cdot \overrightarrow {O{A_5}} ,\overrightarrow {O{A_1}} \cdot \overrightarrow {O{A_6}} ,\overrightarrow {O{A_2}} \cdot \overrightarrow {O{A_4}} ,\overrightarrow {O{A_2}} \cdot \overrightarrow {O{A_6}} ,\overrightarrow {O{A_3}} \cdot \overrightarrow {O{A_4}} ,\overrightarrow {O{A_3}} \cdot \overrightarrow {O{A_5}} ,\]共 $ 6 $ 种；
数量积为 $ 0 $ 的有\[\overrightarrow {O{A_1}} \cdot \overrightarrow {O{A_3}} ,\overrightarrow {O{A_1}} \cdot \overrightarrow {O{A_4}} ,\overrightarrow {O{A_3}} \cdot \overrightarrow {O{A_6}} ,\overrightarrow {O{A_4}} \cdot \overrightarrow {O{A_6}} ,\]共 $ 4 $ 种；
数量积为 $ 1 $ 的有\[\overrightarrow {O{A_1}} \cdot \overrightarrow {O{A_2}},\overrightarrow {O{A_2}} \cdot \overrightarrow {O{A_3}} ,\overrightarrow {O{A_4}} \cdot \overrightarrow {O{A_5}} ,\overrightarrow {O{A_5}} \cdot \overrightarrow {O{A_6}} ,\]共 $ 4 $ 种．
故所有可能的情况共有 $ 15 $ 种．
所以小波去下棋的概率为 ${p_1} = \dfrac{7}{15}$．因为去唱歌的概率为 ${p_2} = \dfrac{4}{15}$，所以小波不去唱歌的概率为\[p \overset {\left[a\right]}= 1 - {p_2} = \dfrac{11}{15}.\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
