本小题考查平面解析几何的一些基本公式．直线 $l_1$ 的方程为 $y_1x-x_1y=0$，因此点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离\[d=\dfrac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}},\]进而\[\begin{split}S&=\dfrac 12\cdot 2d\cdot 2|OA|\\&\overset{a}=2\cdot \dfrac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\cdot \sqrt{x_1^2+y_1^2}\\&=2|x_1y_2-x_2y_1|.\end{split}\]（推导中用到：[a]）
因此原命题得证．

小题中给出的直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $-\dfrac 12$ 在仿射变换 $\begin{cases} x'=x,\\ y'={\sqrt 2}y\end{cases} $ 下即直线 $l_1'$ 与 $l_2'$ 的斜率之积为 $-1$，因此仿射变换后平行四边形 $ACBD$ 变为正方形，再由仿射变换前后平面图形的面积关系易得结果．在仿射变换$\begin{cases} x'=x,\\y'=\sqrt 2y\end{cases}$ 下，椭圆 $x^2+2y^2=1$ 变为圆 $x'^2+y'^2=1$，如图．因为直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $-\dfrac 12$，所以仿射变换后直线 $l'_1$ 与 $l'_2$ 的斜率之积为 $-1$．这样就得到四边形 $A'C'B'D'$ 是对角线长为 $2$ 的正方形，其面积 $S'=\dfrac 12\cdot 2\cdot 2=2$，因此 $S=\dfrac{1}{\sqrt 2}S'=\sqrt 2$．
（2015年上海文科题22）已知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别与椭圆交于点 $A,B$ 和 $C,D$．记 $\triangle AOC$ 的面积为 $S$．
（1）设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$C\left(x_2,y_2\right)$，用 $A,C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离，并证明 $S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$；
答案
略
分析
同理科题21．
过程
直线 $l_1$ 的方程为 $y_1x-x_1y=0$，因此点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离\[d=\dfrac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}},\]进而\[\begin{split}S&=\dfrac 12\cdot d\cdot |OA|\\&\overset{\left[a\right]}=\dfrac 12\cdot \dfrac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\cdot \sqrt{x_1^2+y_1^2}\\&=\dfrac 12|x_1y_2-x_2y_1|.\end{split}\]（推导中用到：[a]）
因此原命题得证．
（2）设 $l_1:y=kx$，$C\left(\dfrac{\sqrt3}{3},\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$，$S=\dfrac13$，求 $k$ 的值；
答案
$k=-1$ 或 $k=-\dfrac 15$
分析
第（1）小题结论的应用．
过程
联立直线 $l_1$ 的方程与椭圆方程，得 $x_1^2=\dfrac 1{1+2k^2}$．因此由第（1）小题的结果可得\[\begin{split}S&=\dfrac 12|x_1y_2-x_2y_1|\\&=\dfrac 12\left|\dfrac{\sqrt 3}3\cdot x_1-\dfrac{\sqrt 3}3\cdot kx_1\right|\\&=\dfrac{\sqrt 3}6\cdot\sqrt{\dfrac{\left(k-1\right)^2}{2k^2+1}},\end{split}\]又根据题意 $S=\dfrac 13$，从而解得 $k=-1$ 或 $k=-\dfrac 15$．
（3）设 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $m$，求 $m$ 的值，使得无论 $l_1$ 与 $l_2$ 如何变动，面积 $S$ 保持不变．
答案
$-\dfrac 12$
分析
同理科题21．
过程
在仿射变换$\begin{cases} x'=x,\\y'=\sqrt 2y\end{cases}$ 下，椭圆 $x^2+2y^2=1$ 变为圆 $x'^2+y'^2=1$，如图．直线 $l_1$ 与 $l_2$ 仿射变换后的直线 $l_1'$ 与 $l_2'$ 的斜率之积为 $2m$，同时 $\triangle AOC$ 仿射变换后成为 $\triangle A'OC'$，其面积 $S'=\sqrt 2S$ 保持不变．
由于 $\triangle A'OC'$ 是腰长为 $1$ 的等腰三角形，于是其面积\[S'=\dfrac 12\cdot\sin\angle A'OC'\cdot |OA'|^2=\dfrac 12\cdot \sin\angle A'OC',\]因此 $\angle A'OC'$ 保持不变．当 $2m=-1$ 即 $m=-\dfrac 12$ 时，$\angle A'OC'$ 恒为直角，保持不变，符合题意；
当 $2m\neq -1$ 时，显然 $m\neq 0$（否则必然有一条直线为 $x$ 轴，显然不符合题意）．设直线 $l_1'$ 与 $l_2'$ 的斜率分别为 $k,\dfrac {2m}{k}$，则\[|\tan\angle A'OC'|=\left|\dfrac{k-\dfrac{2m}k}{1+k\cdot\dfrac{2m}k}\right|=\left|\dfrac{k-\dfrac{2m}k}{1+2m}\right|\]不为定值，不符合题意．
综上所述，$m$ 的值为 $-\dfrac 12$ 时，无论 $l_1$ 和 $l_2$ 如何变动，面积 $S$ 保持不变．