题目 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}-a_n=2\left(b_{n+1}-b_n\right)$，$n\in{\mathbb N^*}$． 问题1 若 $b_n=3n+5$，且 $a_1=1$，求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=6n-5$ 解析1 本小题考查等差数列的通项公式．根据题意，有\[a_{n+1}-a_n=2\left(b_{n+1}-b_n\right)=6,n\in\mathbb N^*,\]从而 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $1$，公差为 $6$ 的等差数列，其通项公式为 $a_n=6n-5$，$n\in\mathbb N^*$． 备注1 问题2 设 $\left\{a_n\right\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项，即 $a_{n_0}\geqslant a_n$（$n\in{\mathbb N^*}$），求证：$\left\{b_n\right\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项； 答案2 略 解析2 本小题需要发现数列 $\left\{a_n\right\}$ 和数列 $\left\{b_n\right\}$ 在变化中的不变量，从而找到最大项的对应关系．根据题意，有\[a_{n+1}-2b_{n+1}=a_n-2b_n,\]因此数列 $\left\{a_n-2b_n\right\}$ 为常数列，于是\[a_n-2b_n=a_1-2b_1,n\in\mathbb N^*.\]这样就有 $b_{n_0}=\dfrac {a_{n_0}-\left(a_1-2b_1\right)}2$，从而\[\forall n\in{\mathbb N^*},b_{n_0}\geqslant \dfrac{a_n-\left(a_1-2b_1\right)}2=b_n,\]因此 $\left\{b_n\right\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项． 备注2 问题3 设 $a_1=3\lambda<0$，$b_n=\lambda^n$（$n\in{\mathbb N^*}$），求 $\lambda$ 的取值范围，使得对任意 $m,n\in{\mathbb N^*}$，$a_n\neq0$，且 $\dfrac{a_m}{a_n}\in\left(\dfrac16,6\right)$． 答案3 $\lambda$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 14,0\right)$ 解析3 本小题先求出数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项，然后按奇偶项分为两个子列分别研究单调性得到数列的最值，最后求解不等式即可．根据题意，用累加法可得\[a_n-a_1=2\left(b_n-b_1\right),\]从而 $a_n=2\lambda^n+\lambda$（$n\in\mathbb N^*$）．<br/>由于 $a_1=3\lambda <0$，因此 $a_2=2\lambda^2+\lambda<0$，从而 $-\dfrac 12<\lambda <0$．<br/>当 $-\dfrac 12<\lambda <0$ 时，$a_n=\lambda\cdot\left(2\lambda^{n-1}+1\right)<0$，且数列 $\left\{a_{2n}\right\}$ 单调递减，数列 $\left\{a_{2n-1}\right\}$ 单调递增，因此\[a_1\leqslant a_{2n-1}<\lambda <a_{2n}\leqslant a_2,n\in\mathbb N^*.\]这样 $\dfrac{a_m}{a_n}$（$m,n\in\mathbb N^*$）的最大值为 $\dfrac{a_1}{a_2}$．<br/>根据题意，有且只需 $\dfrac{a_1}{a_2}<6$，即\[\dfrac{3}{2\lambda+1}<6, 解得 \lambda>-\dfrac 14.\]综上所述，$\lambda$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 14,0\right)$． 备注3