$\left[3,6\right]$

本小题考查对题意的理解能力．根据题意，有\[\begin{cases} \dfrac 23\leqslant x\leqslant 6,\\ \dfrac x3\leqslant 9\leqslant 3x,\end{cases}\]解得 $x$ 的取值范围是 $\left[3,6\right]$．

$q \in \left[\dfrac 13,2\right]$

本小题在利用等比数列的求和公式得到 $S_n$ 后，根据公比展开讨论即可．根据题意，有\[\forall n\in{\mathbb N^*},\dfrac 13q^{n-1}\leqslant q^n\leqslant 3q^{n-1},\]从而 $\dfrac 13\leqslant q\leqslant 3$．
情形1，$q=1$．此时 $S_n=n$（$n\in{\mathbb N^*}$），显然有 $\dfrac 13S_n\leqslant S_{n+1}\leqslant 3S_n$，符合题意．
情形2，$\dfrac 13\leqslant q<1$．此时 $S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}$，根据题意，有\[\forall n\in{\mathbb N^*},\dfrac 13\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}\leqslant \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\leqslant 3\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q},\]即对任意正整数 $n$，均有\[\begin{cases} q^n\left(3-q\right)\leqslant 2,\\ q^n\left(3q-1\right)\leqslant 2,\end{cases} \]也即\[\begin{cases} q\left(3-q\right)\leqslant 2,\\ q\left(3q-1\right)\leqslant 2,\end{cases} \]解得 $\dfrac 13\leqslant q<1$．
情形3，$1<q\leqslant 3$．此时 $S_n=\dfrac{q^n-1}{q-1}$，根据题意，有\[\forall n\in{\mathbb N^*},\dfrac 13\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\leqslant \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\leqslant 3\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1},\]即对任意正整数 $n$，均有\[\begin{cases} q^n\left(3-q\right)\geqslant 2,\\q^n\left(3q-1\right)\geqslant 2,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} q\left(3-q\right)\geqslant 2,\\ q\left(3q-1\right)\geqslant 2,\end{cases} \]解得 $1<q\leqslant 2$．
综上所述，$q$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 13,2\right]$．

$k$ 的最大值为 $ 1999 $，此时公差为 $d = - \dfrac{1}{1999}$

本小题引入了两个参数（$k$ 和 $d$），利用等差数列的求和公式得到方程，然后消参求解即可．根据题意，当 $n=1,2,\cdots ,k-1$ 时，均有\[\dfrac 13\cdot\left[1+\left(n-1\right)d\right]\leqslant 1+nd\leqslant 3\cdot\left[1+\left(n-1\right)d\right],\]即对 $n=1,2,\cdots ,k-1$，均有\[\begin{cases} \left(2n+1\right)d\geqslant -2,\\ \left(2n-3\right)d\geqslant -2,\end{cases} \]从而 $-\dfrac{2}{2k-1}\leqslant d\leqslant 2$．
又由等差数列的前 $n$ 项和公式，有\[\begin{split}a_1+a_2+\cdots +a_k&=\dfrac d2k^2+\left(1-\dfrac d2\right)k\\&=1000,\end{split}\]解得 $d=\dfrac{2000-2k}{k^2-k}$．
综上所述，有\[-\dfrac{2}{2k-1}\leqslant \dfrac{2000-2k}{k^2-k}\leqslant 2,\]解得 $32\leqslant k\leqslant 1999$，因此 $k$ 的最大值为 $1999$，此时公差 $d=-\dfrac{1}{1999}$．
（2014年上海文科题23）已知数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 满足 $\dfrac{1}{3}{a_n}\leqslant{a_{n + 1}}\leqslant 3{a_n},n \in{{\mathbb{N}}^*}$，${a_1}= 1$．
（1）若 ${a_2}= 2$，${a_3}= x$，${a_4}= 9$，求 $x$ 的取值范围；
答案
$\left[3,6\right]$
分析
与理科第23题基本相同
过程
见理科第23题；
（2）若 $\left\{{a_n}\right\}$ 是等比数列，且 ${a_m}= \dfrac 1{1000}$，求正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 $\left\{{a_n}\right\}$ 的公比；
答案
$m$ 的最小值为 $8$，相应 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $10^{-\frac 37}$．
分析
与理科第23题基本相同，本小题没有与等比数列的求和公式综合．
过程
根据题意，有\[\forall n\in{\mathbb N^*},\dfrac 13q^{n-1}\leqslant q^n\leqslant 3q^{n-1},\]从而 $\dfrac 13\leqslant q\leqslant 3$，进而\[\left(\dfrac 13\right)^{m-1}\leqslant q^{m-1}\leqslant 3^{m-1},\]即\[\left(\dfrac 13\right)^{m-1}\leqslant \dfrac{1}{1000} \leqslant 3^{m-1},\]从而 $m$ 的最小值为 $8$，相应 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $10^{-\frac 37}$．
（3）若 ${a_1},{a_2},\cdots,{a_{100}}$ 成等差数列，求 ${a_1},{a_2},\cdots ,{a_{100}}$ 的公差的取值范围．
答案
$\left[-\dfrac{2}{199},2\right]$
分析
与理科第23题基本相同，本小题没有与等差数列的求和公式综合，全面降低了问题的难度．
过程
根据题意，当 $n=1,2,\cdots ,99$ 时，均有\[\dfrac 13\cdot\left[1+\left(n-1\right)d\right]\leqslant 1+nd\leqslant 3\cdot\left[1+\left(n-1\right)d\right],\]即对 $n=1,2,\cdots ,99$，均有\[\begin{cases} \left(2n+1\right)d\geqslant -2,\\ \left(2n-3\right)d\geqslant -2,\end{cases} \]从而 $-\dfrac{2}{199}\leqslant d\leqslant 2$．因此等差数列 ${a_1},{a_2},\cdots ,{a_{100}}$ 的公差的取值范围为 $\left[-\dfrac{2}{199},2\right]$．