① 当 $1 < a < 2$ 时，$f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1,{a^2} - 2a} \right)$ 上是增函数；在 $\left( {{a^2} - 2a,0} \right)$ 上是减函数；在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上是增函数．
② 当 $a = 2$ 时，$f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1, + \infty } \right)$ 上是增函数．
③ 当 $a > 2$ 时，$f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1,0} \right)$ 上是增函数；在 $\left( {0,{a^2} - 2a} \right)$ 上是减函数；在 $\left( {{a^2} - 2a, + \infty } \right)$ 上是增函数．

本小问是利用导数研究函数的单调性，导函数的正负决定函数的单调性，核心函数是二次函数，需要对其零点位置进行讨论．可利用导数研究 $f\left(x\right)$ 的单调性．
$f\left( x \right)$ 的定义域为 $ \left( { - 1, + \infty } \right) $，其导数为\[f'\left( x \right) = \dfrac{{x\left[ {x - \left( {{a^2} - 2a} \right)} \right]}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x + a} \right)}^2}}}.\]① 当 $1 < a < 2$ 时，
若 $x \in \left( { - 1,{a^2} - 2a} \right)$，则 $f'\left( x \right) > 0$，$f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1,{a^2} - 2a} \right)$ 上是增函数；
若 $x \in \left[ {{a^2} - 2a,0} \right]$，则 $f'\left( x \right) \leqslant 0$，$f\left( x \right)$ 在 $\left( {{a^2} - 2a,0} \right)$ 上是减函数；
若 $x \in \left( {0, + \infty } \right) $，则 $f'\left( x \right) > 0$，$f\left( x \right)$ 在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上是增函数．
② 当 $a = 2$ 时，$f'\left( x \right) \geqslant 0$，$f'\left( x \right) = 0$ 成立当且仅当 $x = 0$，$f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1, + \infty } \right)$ 上是增函数．
③ 当 $a > 2$ 时，
若 $x \in \left( { - 1,0} \right)$，则 $f'\left( x \right) > 0$，$f\left( x \right)$ 在是 $\left( { - 1,0} \right)$ 上是增函数；
若 $x \in \left[ {0,{a^2} - 2a} \right]$，则 $f'\left( x \right) \leqslant 0$，$f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,{a^2} - 2a} \right)$ 上是减函数；
若 $x \in \left( {{a^2} - 2a, + \infty } \right)$，则 $f'\left( x \right) > 0$，$f\left( x \right)$ 在 $\left( {{a^2} - 2a, + \infty } \right)$ 上是增函数．

略．

取合适的 $a$ 值，利用第（1）问中的单调性，辅助证明不等式，有关数列的不等式的证明问题，常用数学归纳法证明．由（1）知，当 $a = 2$ 时，$f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1, + \infty } \right)$ 是增函数．
当 $x \in \left( {0, + \infty } \right)$ 时，$f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0$，即\[\ln \left( {x + 1} \right) > \dfrac{2x}{x + 2}\left( {x > 0} \right).\]又由（1）知，当 $a = 3$ 时，$f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,3} \right)$ 上是减函数；
当 $x \in \left( {0,3} \right)$ 时，$f\left( x \right) < f\left( 0 \right) = 0$，即\[\ln \left( {x + 1} \right) < \dfrac{3x}{x + 3}\left( {0 < x < 3} \right).\]下面用数学归纳法证明\[\dfrac{2}{n + 2} < {a_n} \leqslant \dfrac{3}{n + 2}.\]① 当 $n = 1$ 时，由已知 $\dfrac{2}{3} < {a_1} = 1$，故结论成立；
② 假设当 $n = k$ 时结论成立，即\[\dfrac{2}{k + 2} < {a_k} \leqslant \dfrac{3}{k + 2}.\]当 $n = k + 1$ 时，则\[ {a_{k + 1}} = \ln \left( {{a_k} + 1} \right) > \ln \left( {\dfrac{2}{k + 2} + 1} \right) > \dfrac{{2 \times \dfrac{2}{k + 2}}}{{\dfrac{2}{k + 2} + 2}} = \dfrac{2}{k + 3}, \\ {a_{k + 1}} = \ln \left( {{a_k} + 1} \right) \leqslant \ln \left( {\dfrac{3}{k + 2} + 1} \right) < \dfrac{{3 \times \dfrac{3}{k + 2}}}{{\dfrac{3}{k + 2} + 3}} = \dfrac{3}{k + 3}, \]即当 $n = k + 1$ 时有 $\dfrac{2}{k + 3} < {a_{k+1}} \leqslant \dfrac{3}{k + 3}$，结论成立．
根据 ①、② 知对任何 $n \in {{\mathbb{N}} ^ *}$ 结论都成立．