将边长为 $1$ 的正方形 $AA_1O_1O$（及其内部）绕 $OO_1$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\stackrel\frown{AC}$ 长为 $\dfrac 56 {\mathrm \pi} $，$\stackrel\frown{A_1B_1}$ 长为 $\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }3$，其中 $B_1$ 与 $C$ 在平面 $AA_1O_1O$ 的同侧．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（文）
【标注】
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求圆柱的体积与侧面积；标注答案$ V={\mathrm \pi} ,S=2{\mathrm \pi} $解析本小问考查圆柱的体积与侧面积，根据题中数据，带入公式即可．由题意可知，圆柱的母线长 $l=1$，底面半径 $r=1$．圆柱的体积\[V={\mathrm \pi} r^2l={\mathrm \pi} \times 1^2\times1={\mathrm \pi} ,\]圆柱的侧面积\[S=2{\mathrm \pi} \cdot r \cdot l=2{\mathrm \pi} \times 1\times1=2{\mathrm \pi} .\]
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求异面直线 $O_1B_1$ 与 $OC$ 所成的角的大小．标注答案$45^\circ $解析求异面直线所成角，一般通过作平行直线，将两条异面直线平移到同一个三角形中，借助余弦定理求夹角．设过点 ${{B}_{1}}$ 的母线与下底面交于点 $B$，则 $O_1{{B}_{1}}\parallel O{B}$，所以 $\angle COB$ 或其补角为 $O_1{{B}_{1}}$ 与 $OC$ 所成的角，由 $\stackrel\frown{A_1B_1}$ 长为 $\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }3$，可知\[\angle AOB=\angle A_1O_1B_1=\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }3;\]由 $\stackrel\frown{AC}$ 长为 $\dfrac{\mathrm 5{\mathrm \pi} }6$，可知\[\angle AOC=\dfrac{\mathrm 5{\mathrm \pi} }6,\angle COB=\angle AOC-\angle AOB=\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }2,\]因此直线 $O_1{{B}_{1}}$ 与 $OC$ 所成角的大小为 $\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
