双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(b>0\right)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与双曲线交于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $l$ 的倾斜角为 $\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }2$，$\triangle F_1AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；标注答案$y=\pm \sqrt{2}x$解析本小问考察双曲线的对称性．根据题意，通径 $ |AB|=2b^2 $ 与焦距 $ |F_1F_2|=2c $ 的比为 $ 2:\sqrt 3 $，即 $ \dfrac{b^2}{c}=\dfrac{2}{\sqrt 3} $，从而解得 $ b^2=2 $，进而双曲线的渐近线方程为 $ y=\pm \sqrt{2}x $．
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设 $b=\sqrt 3$，若 $l$ 的斜率存在，且 $|AB|=4$，求 $l$ 的斜率．标注答案$\pm \dfrac{\sqrt{15}}{5}$解析本小问是一个典型的焦点弦长问题，用“焦半径公式”即可轻松解决．当 $ b=\sqrt{3} $ 时，双曲线的方程为 $ x^2-\dfrac{y^2}3=1 $，其焦距 $ |F_1F_2|=4 $．设 $ P $ 为双曲线右支上一点，则 $ |PF_1|=|PF_2|+2 $，在 $ \triangle PF_2F_1 $ 中应用余弦定理有\[|PF_1|^2=|F_1F_2|^2+|PF_2|^2-2\cdot |PF_2|\cdot |F_1F_2|\cdot \cos\angle PF_2F_1,\]代入数据整理得\[|PF_2|\overset{\left[a\right]}=\dfrac{3}{2\cos\angle PF_2F_1+1}.\]类似地，当 $P$ 为双曲线左支上一点时，有\[|PF_2|\overset{\left[a\right]}=\dfrac{3}{2\cos\angle PF_2F_1-1}.\]（推导中用到：[a]）
因此设直线 $ AB $ 的倾斜角为 $ \theta $，则\[|AB|=\left|\dfrac{3}{2\cos\theta+1}+\dfrac{3}{-2\cos\theta+1}\right|=\dfrac{6}{\left|4\cos^2\theta-1\right|}=4,\]整理得 $\cos\theta=\pm \sqrt{\dfrac 58}$，因此直线 $l$ 的斜率为 $\tan\theta=\pm \dfrac{\sqrt{15}}5$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
