题目 对无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$，记 $A=\left\{x|x=a_n,n\in {\mathbb N}^\ast\right\}$，$B=\left\{x|x=b_n,n\in {\mathbb N}^\ast\right\}$，若同时满足条件：<br/>① $\left\{a_n\right\}$，$\left\{b_n\right\}$ 均单调递增；<br/>② $A\cap B=\varnothing$ 且 $A\cup B={\mathbb N}^\ast$，<br/>则称 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是无穷互补数列． 问题1 若 $a_n=2n-1$，$b_n=4n-2$，判断 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是否为无穷互补数列，并说明理由； 答案1 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 不是无穷互补数列． 解析1 本小问是对无穷互补数列的定义的考查．因为 $4\not\in A$，$4\not\in B$，所以 $4\not\in A\cup B$，从而 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 不是无穷互补数列． 备注1 问题2 若 $a_n=2^n$ 且 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是无穷互补数列，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $16$ 项的和； 答案2 $ 180 $ 解析2 本小问是进一步对无穷互补数列定义的考查，即已知无穷互补数列中的一个数列，通过无穷互补数列的定义，求得另一个数列．因为 $a_4=16$，所以 $b_{16}=16+4=20$．所以数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $16$ 项的和为\[\begin{split}&\quad\left(1+2+\cdots+20\right)-\left(2+2^2+2^3+3^4\right)\\&=\dfrac{1+20}{2}\times 20-\left(2^5-2\right)\\&=180.\end{split}\] 备注2 问题3 若 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是无穷互补数列，$\left\{a_n\right\}$ 为等差数列且 $a_{16}=36$，求 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式． 答案3 $a_n=2n+4$，$b_n=\begin{cases}n,n\leqslant 5,\\ 2n-5,n>5.\end{cases}$ 解析3 通过无穷互补数列的定义可知，数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 中的项均为正整数，数列 $\left\{a_n\right\}$ 又为等差数列，由此可求得 $d$ 的取值范围，这是解题的突破口．设 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$，$d\in\mathbb N^*$，则\[a_{16}=a_1+15d=36.\]由\[a_1=36-15d\geqslant 1,\]得 $d=1$ 或 $d=2$．<br/>若 $d=1$，则 $a_1=21$，$a_n=n+20$，与“$\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是无穷互补数列”矛盾；<br/>若 $d=2$，则 $a_1=6$，$a_n=2n+4$，\[b_n=\begin{cases}n,&n\leqslant 5,\\ 2n-5,&n>5.\end{cases}\]综上，$a_n=2n+4$，$b_n=\begin{cases}n,n\leqslant 5,\\ 2n-5,n>5.\end{cases}$ 备注3