已知 $a\in {\mathbb R}$，函数 $f\left(x\right)=\log_2\left(\dfrac 1x+a\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $a=1$ 时，解不等式 $f\left(x\right)>1$；标注答案$ \left(0,1\right) $解析本小问是基本的解函数不等式．当 $ a=1 $ 时，原不等式等价于 $ \dfrac 1x+1>2 $，其解集为 $ \left(0,1\right) $．
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若关于 $x$ 的方程 $f\left(x\right)+\log_2\left(x^2\right)=0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$ 的值；标注答案$ 0 $ 或 $ -\dfrac 14 $解析将对数方程转化为多项式方程后，对二次项系数 $ a $ 适当讨论即可．根据题意，有\[ \begin{cases} ax^2+x-1=0,\\ \dfrac 1x+a>0,\\ x^2>0,\end{cases} \]有唯一解．
情形一 $ a=0 $．
此时 $ x=1 $，符合题意．
情形二 $ a\neq 0 $．
此时必然有方程 $ ax^2+x-1=0 $ 的判别式 $ \Delta=1+4a=0 $，解得 $ a=-\dfrac 14 $，此时 $ x=2 $，符合题意．
综上，$ a $ 的值为 $ 0 $ 或 $ -\dfrac 14 $． -
设 $a>0$，若对任意 $t\in\left[\dfrac 12,1\right]$，函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[t,t+1\right]$ 上的最大值与最小值的差不超过 $1$，求 $a$ 的取值范围．标注答案$ \left[\dfrac 23,+\infty\right) $解析是一个典型的含参不等式恒成立问题，用“分离变量法”即可轻松解决．当 $ a>0 $ 时，函数 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,+\infty\right) $ 上单调递减，于是问题等价于\[ \forall t\in\left[\dfrac 12,1\right],f\left(t\right)-f\left(t+1\right)\leqslant 1, \]也即\[ \forall t\in\left[\dfrac 12,1\right],a\geqslant \dfrac{1-t}{t^2+t}. \]当 $ t=1 $ 时显然成立，当 $ t\in\left[\dfrac 12,1\right) $，也即 $ 1-t\in\left(0,\dfrac 12\right] $ 时，有\[ \dfrac{1-t}{t^2+t}=\dfrac{1-t}{\left(1-t\right)^2-3\left(1-t\right)+2}=\dfrac{1}{\left(1-t\right)+\dfrac{2}{1-t}-3}\leqslant \dfrac 23 , \]等号当 $ t=\dfrac 12 $ 时取得．因此 $ a $ 的取值范围是 $ \left[\dfrac 23,+\infty\right) $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
