题目 若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：只要 $a_p=a_q\left(p,q\in {\mathbb N}^\ast\right)$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P$． 问题1 若 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P$，且 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_4=3$，$a_5=2$，$a_6+a_7+a_8=21$，求 $a_3$； 答案1 $a_3=16$ 解析1 考查解题者对性质 $ P$ 的理解．因为 $a_2=a_5=2$，所以\[a_3=a_6, a_4=a_7=3, a_5=a_8=2,\]因此 $a_6=21-a_7-a_8=16$，故 $a_3=16$． 备注1 问题2 若无穷数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_n\right\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1$，$b_5=c_1=81$，$a_n=b_n+c_n$，判断 $\left\{a_n\right\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由； 答案2 $ \left\{a_n\right\} $ 不具有性质 $P$． 解析2 本小问给出了两个基本数列，利用性质 $P$ 的定义不难做出判断．由于 $b_n=20n-19$，$c_n=\dfrac{1}{3^{n-5}} $，故\[a_n=b_n+c_n=20n-19+\dfrac{1}{3^{n-5}}. \]因为 $ a_1=a_5=82 $，但是\[a_2=21+27=48\ne a_6=101+\dfrac{1}{3}=\dfrac{304}{3}, \]所以 $ \left\{a_n\right\} $ 不具有性质 $P$． 备注2 问题3 设 $\left\{b_n\right\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_n+\sin a_n\left(n\in {\mathbb N}^\ast\right)$．求证：“对任意 $a_1$，$\left\{a_n\right\}$ 都具有性质 $P$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\}$ 是常数列”． 答案3 略 解析3 难点在于必要性的证明，通过选择合适的初值构造常数列（从第二项起）即可得出 $\left\{b_n\right\}$ 是常数列．先证明充分性．若 $ \left\{b_n\right\} $ 是常数列，不妨设 $ b_n=c $，则 $ a_{n+1}=c+\sin{a_n} $．此时只要 $ a_p=a_q \left(p,q\in \mathbb{N}^{*} \right) $，必有\[a_{p+1}=c+\sin{a_p}=c+\sin{a_q}=a_{q+1},\]故对任意 $ a_1 $，$\left\{a_n\right\} $ 都具有性质 $P$．<br/>再证明必要性．考察连续函数 $ f\left(x\right)=x-b_1-\sin{x} $，其中 $ b_1 $ 为任意实数．因为\[\begin{split}&f \left(b_1-2\right)=-2-\sin{\left(b_1-2\right)}<0,\\& f\left(b_1+2\right)=2-\sin{\left(b_1+2\right)}>0,\end{split}\]所以存在 $t\in \left(b_1-2,b_1+2\right)$，使得 $f\left(t\right)=t-b_1-\sin{t}=0$．<br/>若对任意 $a_1$，$\left\{a_n\right\} $ 都具有性质 $P$，取 $ a_1=t $，此时\[a_2=b_1+\sin{a_1}=b_1+\sin{t}=t=a_1,\]进而\[a_2=a_3, a_3=a_4, \cdots, a_n=a_{n+1}, \cdots,\]所以对任意 $n\in \mathbb{N}^{*} $，均有\[b_{n+1}=a_{n+2}-\sin{a_{n+1}}=a_{n+1}-\sin{a_n}=b_n,\]即 $\left\{b_n\right\} $ 是常数列．<br/>综上所述，“对任意 $a_1$，$\left\{a_n\right\} $ 都具有性质 $P$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\} $ 是常数列”． 备注3