题目 已知各项都为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n^2-\left(2a_{n+1}-1\right)a_n-2a_{n+1}=0$． 问题1 求 $a_2,a_3$； 答案1 ${{a}_{2}}=\dfrac{1}{2}$，$a_3=\dfrac 14$． 解析1 可先将递推公式进行化简，再依次求值．由 $a_{n}^{2}-\left(2{{a}_{n+1}}-1\right){{a}_{n}}-2{{a}_{n+1}}=0$ 可得\[\left( {{a}_{n}}-2{{a}_{n+1}} \right)\left( {{a}_{n}}+1 \right)=0,\]因为 $a_n>0$，所以\[{{a}_{n}}-2{{a}_{n+1}}=0,\]\[{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}{{ a }_{n}},\]因为 $a_1=1$，所以 ${{a}_{2}}=\dfrac{1}{2}$，$a_3=\dfrac 14$． 备注1 问题2 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式． 答案2 ${{a}_{n}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n-1}}$ 解析2 由第一问得出数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，进而套用公式即可．由（1）知\[{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}{{ a }_{n}},\]所以 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 是以 ${{a}_{1}}=1$ 为首项，公比为 $\dfrac{1}{2}$ 的等比数列，${{a}_{n}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n-1}}$． 备注2