题目 设函数 $f\left(x\right)=\ln x-x+1$． 问题1 讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性； 答案1 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上单调递增，在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递减． 解析1 本题考查简单的利用导函数研究函数的单调性问题．根据题意，函数 $f\left(x\right)$ 的导函数\[f'\left(x\right)=\dfrac 1x-1=\dfrac {1-x}{x},x>0,\]所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上单调递增，在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递减． 备注1 问题2 证明当 $x\in\left(1,+\infty\right)$ 时，$1<\dfrac{x-1}{\ln x}<x$； 答案2 略 解析2 本题是第（1）小题的直接推论，同时也是对第（3）小题的提示，将所要证的不等式进行变形，得到 $ 1-\dfrac 1x<\ln x<x-1,x>1 $，在证明过程中适当进行换元即可．欲证不等式即\[1-\dfrac 1x<\ln x<x-1,x>1.\]事实上，由第（1）小题知，$f\left(x\right)$ 的最大值为 $f\left(1\right)=0$，所以\[\ln x-x+1\leqslant 0, 即 \ln x\leqslant x-1,\]等号当且仅当 $x=1$ 时取得，这样就得到了右侧不等式．而当 $x>1$ 时，有 $0<\dfrac 1x<1$，此时有\[\ln\dfrac{1}{x}< \dfrac 1x-1,\]即 $ \ln x>1-\dfrac 1x$，这样就得到了左侧不等式．<br/>因此原不等式得证． 备注2 问题3 设 $c>1$，证明当 $x\in \left(0,1\right)$ 时，$1+\left(c-1\right)x>c^x$． 答案3 略 解析3 通过观察端点 $x=0,1$ 时不等式两边相等，可以拟定作差研究函数的单调性的策略．设 $g\left(x\right)=c^x-\left(c-1\right)x-1,x\in \left[0,1\right]$，则所证不等式即\[\forall x\in \left(0,1\right),g\left(x\right)<0.\]函数 $g\left(x\right)$ 的导函数\[\begin{split}g'\left(x\right)&=c^x\cdot \ln c-\left(c-1\right)\\&=\ln c \cdot \left(c^x-\dfrac{c-1}{\ln c}\right).\end{split}\]因为 $c>1$，所以 $\ln c>0$，由第（2）小题知\[1<\dfrac{c-1}{\ln c}<c,\]从而 $g'\left(0\right)<0$ 且 $g'\left(1\right)>0$，结合 $g'\left(x\right)$ 是单调递增函数，于是 $g'\left(x\right)$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上有唯一零点，进而可得函数 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上先单调递减，再单调递增，又 $g\left(0\right)=g\left(1\right)=0$，从而可得在区间 $\left(0,1\right)$ 上，$g\left(x\right)<0$，原命题得证． 备注3