题目 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 $3$ 的等差数列，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=1$，$b_2=\dfrac 13$，$a_nb_{n+1}+b_{n+1}=nb_n$． 问题1 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=3n-1$． 解析1 根据题中条件求出数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项即可．因为\[a_nb_{n+1}+b_{n+1}=nb_n,\]所以\[a_1b_{2}+b_{2}= b_1,\]解得 $a_1=2$．又因为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差 $d=3$，所以\[a_n=a_1+\left(n-1\right)d=3n-1.\] 备注1 问题2 求 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和． 答案2 $S_n=\dfrac 32\left(1-\dfrac 1{3^n}\right)$ 解析2 根据（1）和题中条件判断出数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列是本题的核心切入点．因为\[\left(3n-1\right)b_{n+1}+b_{n+1}=nb_n,\]所以\[\dfrac {b_{n+1}}{b_n } = \dfrac 13,\]所以数列 $\left\{b_n\right\}$ 是首项为 $1$，公比 $q=\dfrac 13$ 的等比数列，所以数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为\[S_n=\dfrac {b_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\dfrac 32\left(1-\dfrac 1{3^n}\right).\] 备注2