题目 某公司计划购买 $1$ 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 $200$ 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 $500$ 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 $100$ 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：<br><img src="/static/images/298c35e840e1fb9b7fbecc556a3c649c.png" class="img-responsive" /> 记 $x$ 表示 $1$ 台机器在三年使用期内需要换的易损零件数，$y$ 表示 $1$ 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），$n$ 表示购机的同时购买的易损零件数． 问题1 若 $n=19$，求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式； 答案1 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y=\begin{cases}3800,&x\leqslant 19\\ 500x-5700,&x>19\end{cases},x\in\mathbb N$ 解析1 根据题中条件分段表示出 $x$，$y$ 的关系即可．若 $n=19$，当一台机器三年内使用的易损零件数 $x\leqslant 19$ 时，$y=19\times 200=3800\left( 元 \right)$；<br/>当一台机器三年内使用的易损零件数 $x>19$ 时，$y=19\times 200+\left(x-19\right)\times 500=500x-5700\left( 元 \right)$．<br/>综上，$y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y=\begin{cases}3800,&x\leqslant 19\\ 500x-5700,&x>19\end{cases},x\in\mathbb N$ 备注1 问题2 若要求“需更换的易损零件数不大于 $n$”的频率不小于 $0.5$，求 $n$ 的最小值； 答案2 $19$ 解析2 从频率分布直方图中找到频率为 $0.5$ 的易损零件数在哪一组是解决本题的核心．$n$ 表示购买 $1$ 台机器的同时购买的易损零件数，则若使 $P\left(X\leqslant n\right)\geqslant 0.5$，则 $n$ 的最小值为 $19$．因为\[\begin{split}&P\left(X\leqslant 18\right)=0.06+0.16+0.24=0.46<0.5,\\&P\left(X\leqslant 19\right)=0.46+0.24=0.7\geqslant 0.5.\end{split}\] 备注2 问题3 假设这 $100$ 台机器在购机的同时每台都购买 $19$ 个易损零件，或每台都购买 $20$ 个易损零件，分别计算这 $100$ 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 $1$ 台机器的同时应购买 $19$ 个还是 $20$ 个易损零件？ 答案3 购买一台机器同时购买 $19$ 个易损零件 解析3 分别计算出两种情况的费用进行比较即可．每台都购买 $19$ 个易损零件所用的总费用设为 $y_{1}$，则\[y_{1}=19\times 200\times 100+500\times 20+500\times 2\times 10=400000,\]每台都购买 $20$ 个易损零件所用的总费用设为 $y_{2}$，则\[y_{2}=20\times 200\times 100+ 500\times 10=405000.\]所以购买 $19$ 件易损零件所需要用的平均数为 $4000$，购买 $20$ 件易损零件所需要用的平均数为 $4050$，故因为 $4000<4050$，所以购买一台机器同时购买 $19$ 个易损零件． 备注3