在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l:y=t\left(t\ne 0\right)$ 交 $y$ 轴于点 $M$，交抛物线 $C:y^2=2px\left(p>0\right)$ 于点 $P$，$M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$，连接 $ON$ 并延长交 $C$ 于点 $H$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $\dfrac{|OH|}{|ON|}$；标注答案解析本小题是简单的计算题，计算出点 $N$ 和 $H$ 的横坐标即可．根据题意，作出示意图．
根据题意，有 $M\left(0,t\right)$，于是 $P\left(\dfrac{t^2}{2p},t\right)$，进而 $N\left(\dfrac{t^2}p,t\right)$．这就得到了直线 $ON$ 的方程为 $y=\dfrac
ptx$．将直线 $ON$ 的方程与抛物线 $C$ 的方程联立，可得\[px\left(px-2t^2\right)=0,\]从而 $H$ 点的横坐标为 $\dfrac{2t^2}p$．这样就得到了\[\dfrac{|OH|}{|ON|}=\dfrac{\frac{2t^2}p}{\frac{t^2}p}=2.\] -
除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与 $C$ 是否有其它公共点？说明理由．标注答案第二小题解析本小题考查直线与抛物线的位置关系，可以利用《高考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效10招中的第10招轻松解决．由第（1）小题的结果，可得 $H$ 点的坐标为 $\left(\dfrac{2t^2}{p},2t\right)$，因此直线 $MH$ 的斜率为\[\dfrac{2t-t}{\dfrac{2t^2}p-0}=\dfrac{p}{2t},\]因此直线 $MH$ 的方程为\[y=\dfrac{p}{2t}x+t,\
{ 即 } 2px=4ty-4t^2,\]与抛物线 $C$ 的方程联立可得\[y^2-4ty+4t^2=0,\]该方程的判别式 $\Delta=0$，因此除 $H$ 外，直线 $MH$ 与 $C$ 没有其它公共点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
