① 当 $a<-\dfrac{\mathrm e}2$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,1\right)$ 上单调递增，在 $\left(1,\ln\left(-2a\right)\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\left(-2a\right),+\infty\right)$ 上单调递增．
② 当 $a=-\dfrac{\mathrm e}2$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
③ 当 $-\dfrac{\mathrm e}2<a<0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,\ln\left(-2a\right)\right)$ 上单调递增，在 $\left(\ln\left(-2a\right),1\right)$ 上单调递减，在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递增．
④ 当 $a\geqslant
0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,1\right)$ 上单调递减，在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递增．

本小题是常规的考查利用导函数研究函数的单调性的问题．函数 $f\left(x\right)$ 的导函数\[f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left({\mathrm e}^x+2a\right),\]因此可以得到讨论的分界点为 $-\dfrac{\mathrm e}2,0$．
① 当 $a<-\dfrac{\mathrm e}2$ 时，$\ln \left(-2a\right)>1$，因此函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,1\right)$ 上单调递增，在 $\left(1,\ln\left(-2a\right)\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\left(-2a\right),+\infty\right)$ 上单调递增．
② 当 $a=-\dfrac{\mathrm e}2$ 时，$\ln \left(-2a\right)=1$，因此函数 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
③ 当 $-\dfrac{\mathrm e}2<a<0$ 时，$\ln
\left(-2a\right)<1$，因此函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,\ln\left(-2a\right)\right)$ 上单调递增，在 $\left(\ln\left(-2a\right),1\right)$ 上单调递减，在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递增．
④ 当 $a\geqslant
0$ 时，${\mathrm e}^x+2a>0$，因此函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,1\right)$ 上单调递减，在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递增．

$a$ 的取值范围是 $\left(0,+\infty\right)$．

本小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法（《高考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效10招中的第1招，与之类似的题有2014年新课标II卷文科第21题）．显然 $x=1$ 不是函数 $f\left(x\right)$ 的零点．当 $x\neq 1$ 时，方程 $f\left(x\right)=0$ 等价于\[a=\dfrac{2-x}{\left(x-1\right)^2}\cdot {\mathrm e}^x.\]记右侧函数为 $g\left(x\right)$，则 $g\left(x\right)$ 的导函数\[g'\left(x\right)=-{\mathrm e}^x\cdot \dfrac{x^2-4x+5}{\left(x-1\right)^3},\]因此函数 $g\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,1\right)$ 上单调递增，而在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递减．
由于函数 $g\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,1\right)$ 上的取值范围是 $\left(0,+\infty\right)$，而在 $\left(1,+\infty\right)$ 上的取值范围是 $\left(-\infty,+\infty\right)$，因此当 $a>0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 有两个零点，所求取值范围是 $\left(0,+\infty\right)$．