题目 已知函数 $f\left(x\right)=\left(x-2\right){\mathrm e}^x+a\left(x-1\right)^2$ 有两个零点． 问题1 求 $a$ 的取值范围； 答案1 $\left(0,+\infty\right)$ 解析1 本小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法（《高考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效10招中的第1招，与之类似的题有2014年新课标II卷文科第21题）．显然 $x=1$ 不是函数 $f\left(x\right)$ 的零点．当 $x\neq 1$ 时，方程 $f\left(x\right)=0$ 等价于\[a=\dfrac{2-x}{\left(x-1\right)^2}\cdot {\mathrm e}^x.\]记右侧函数为 $g\left(x\right)$，则 $g\left(x\right)$ 的导函数\[g'\left(x\right)=-{\mathrm e}^x\cdot \dfrac{x^2-4x+5}{\left(x-1\right)^3},\]因此函数 $g\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,1\right)$ 上单调递增，而在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递减．<br/>由于函数 $g\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,1\right)$ 上的取值范围是 $\left(0,+\infty\right)$，而在 $\left(1,+\infty\right)$ 上的取值范围是 $\left(-\infty,+\infty\right)$，因此当 $a>0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 有两个零点，所求取值范围是 $\left(0,+\infty\right)$． 备注1 问题2 设 $x_1,x_2$ 是 $f\left(x\right)$ 的两个零点，证明：$x_1+x_2<2$． 答案2 略 解析2 本小题是典型的偏移问题，对称化构造即可．根据第（1）小题的结果，不妨设 $x_1<1<x_2$，则只需证明 $x_2<2-x_1$．考虑到函数 $g\left(x\right)$ 在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递减，于是只需要证明\[g\left(x_2\right)>g\left(2-x_1\right),\]也即\[g\left(x_1\right)>g\left(2-x_1\right).\]接下来证明：\[\forall x<1,g\left(x\right)-g\left(2-x\right)>0,\]也即\[\forall x<1,{\mathrm e}^x\cdot \left(2-x\right)-{\mathrm e}^{2-x}\cdot x>0.\]设 $h\left(x\right)={\mathrm e}^x\cdot \left(2-x\right)-{\mathrm e}^{2-x}\cdot x$，则其导函数\[h'\left(x\right)=\left({\mathrm e}^x-{\mathrm e}^{2-x}\right)\left(1-x\right),\]当 $x<1$ 时，有\[{\mathrm e}^x-{\mathrm e}^{2-x}<0,\]于是在 $\left(-\infty,1\right)$ 上，$h\left(x\right)$ 单调递减．而 $h\left(1\right)=0$，于是在 $\left(-\infty,1\right)$ 上，有 $h\left(x\right)>0$，因此原命题得证． 备注2