如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上，$AE=CF$，$EF$ 交 $BD$ 于点 $H$．将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置．
【难度】
【出处】
2016年高考全国甲卷（文）
【标注】
-
证明：$AC\perp HD'$；标注答案略解析可以通过线面垂直来证线线垂直．因为 $DA=DC$，$AE=CF$，所以 $\dfrac{DE}{DA}=\dfrac{DF}{DC}$，所以 $AC\parallel EF$．
在菱形 $ABCD$ 中，$AC\perp BD$，所以 $DH\perp EF$，$OH\perp EF$，
即 $D'H\perp EF$，$OH\perp EF$，又 $D'H\cap OH=H$，
所以 $EF\perp $ 平面 $D'HO$，
所以 $AC\perp $ 平面 $D'HO$，故 $AC\perp HD'$． -
若 $AB=5$，$AC=6$，$AE=\dfrac 54$，$OD'=2\sqrt 2$，求五棱锥 $D'-ABCFE$ 的体积．标注答案$\dfrac {23\sqrt 2}2$解析要求五棱锥 $D'-ABCFE$ 的体积，关键是计算底面面积和高．因为 $AE= \dfrac{5}{4}$，$AD=5$，由第 $(1)$ 问可知 $EF\parallel AC$，所以 $\dfrac{DH}{OH}=\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{3}{1}$．
在菱形 $ABCD$ 中，由 $AB=5$，$AC=6$，可得 $OD=4$．所以 $OH=1$，$HD'=3$．
在 $\triangle D'OH$ 中，\[D'H^{2}=OH^{2}+D'O^{2},\]所以 $\triangle D'OH$ 为直角三角形，且 $D'O\perp OH$，又由第 $(1)$ 问可知 $AC\perp $ 平面 $D'HO$，所以 $AC\perp D'O$．又 $AC\cap OH=O$，所以 $D'O\perp $ 平面 $ABCD$．
底面五边形的面积为\[\begin{split}S_{五边形ABCFE}&=S_{四边形ABCD}-S_{\triangle DEF}\\&=\dfrac{1}{2}\times 6\times 8-\dfrac {1}{2}\times \dfrac 92\times 3\\&=\dfrac {69}4.\end{split}\]所以五棱锥的体积\[\begin{split}V_{D'-ABCFE}&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{五边形ABCFE}\cdot D'O\\&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac {69}4\times 2\sqrt 2\\&=\dfrac {23\sqrt 2}2.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
