已知函数 $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln x-a\left(x-1\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $a=4$ 时，求曲线 $y=f\left(x\right)$ 在 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程；标注答案$y=-2x+2$．解析本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．当 $a=4$ 时，$f\left(1\right)=0$，函数 $f\left(x\right)$ 的导函数\[f'\left(x\right)=\ln x+\dfrac 1x-3,\]因此 $f'\left(1\right)=-2$，从而所求的切线方程为 $y=-2\left(x-1\right)$，也即 $y=-2x+2$．
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若当 $x\in \left(1,+\infty\right)$ 时，$f\left(x\right)>0$，求 $a$ 的取值范围．标注答案$a$ 的取值范围是 $ \left(-\infty,2\right] $．解析本小题是典型的包含对数的恒成立问题，需要用到“清君侧”的想法简化问题，另外，分析自变量的端点确定参数的分界点是常用的技巧．题中不等式即\[\ln x-a\cdot \dfrac{x-1}{x+1}>0,\]记左侧函数为 $g\left(x\right)$，则 $g\left(1\right)=0$，其导函数\[g'\left(x\right)=\dfrac {x^2+\left(2-2a\right)x+1}{x\left(x+1\right)^2},\]分析端点可知分界点为 $2$．
情形一：$a\leqslant 2$．此时\[g\left(x\right)>\ln x-2\cdot \dfrac{x-1}{x+1},\]记右侧函数为 $h\left(x\right)$，则其导函数\[h'\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x\left(x+1\right)^2},\]因此在 $\left(1,+\infty\right)$ 上 $h\left(x\right)$ 单调递增，又 $h\left(1\right)=0$，因此在 $\left(1,+\infty\right)$ 上，有 $h\left(x\right)>0$，符合题意．
情形二：$a>2$．此时在区间 $\left(1,a-1+\sqrt{a^2-2a}\right)$ 上有 $g'\left(x\right)<0$，又 $g\left(1\right)=0$，因此在该区间内 $g\left(x\right)<0$，不符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,2\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
