本小题主要考查椭圆的对称性，由椭圆的对称性，得直线 $AM$ 的方程，再与椭圆的方程联立可解．根据题意画出示意图如图．当 $|AM|=|AN|$ 时，$\triangle MAN$ 是等腰直角三角形．根据椭圆的对称性，可知 $k=1$，$A$ 点的坐标为 $\left(-2,0\right)$，因此直线 $AM$ 的方程为 $x=y-2$，与椭圆 $E$ 的方程联立，可得\[y\left(\dfrac{7}{12}y-1\right)=0,\]于是点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac{12}7$，进而可得 $\triangle AMN$ 的面积\[S=\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{144}{49}.\]

本小题考查椭圆的弦长计算，已知弦长的关系反向推算斜率 $k$ 的范围为问题带来了新的变化．记 $m=\dfrac 1k$（$m>0$），则直线 $AM$ 的方程为 $x=my-2$，与椭圆 $E$ 的方程联立可得\[\left(\dfrac{m^2}4+\dfrac 13\right)y^2-my=0,\]从而点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac{12m}{3m^2+4}$，因此点 $N$ 的纵坐标为\[\dfrac{-\dfrac{12}{m}}{\dfrac{3}{m^2}+4}=\dfrac{-12m}{3+4m^2},\]因此由 $2|AM|=|AN|$ 可得\[2\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot \dfrac{12m}{3m^2+4}=\sqrt{1+\dfrac{1}{m^2}}\cdot \dfrac{12m}{3+4m^2},\]整理得\[8m^3-3m^2+6m-4=0.\]设函数 $f\left(x\right)=8x^3-3x^2+6x-4$（$x>0$），则其导函数\[f'\left(x\right)=24x^2-6x+6>0,\]因此函数 $f\left(x\right)$ 单调递增．考虑到\[f\left(\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)=\dfrac{26-15\sqrt 3}{3\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt{676}-\sqrt{675}}{3\sqrt 3}>0,\]而\[f\left(\dfrac 12\right)=-\dfrac 34<0,\]因此函数 $f\left(x\right)$ 有唯一零点且该零点在区间 $\left(\dfrac 12,\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)$ 上，进而可得 $\dfrac 12<m<\dfrac{1}{\sqrt 3}$，也即 $\sqrt 3<k<2$．