已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-\dfrac 12\right|+\left|x+\dfrac 12\right|,M$ 为不等式 $f\left(x\right)<2$ 的解集．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $M$；标注答案$\left\{ x\left|-1<x<1\right. \right\}$解析分段去绝对值号，再解不等式．当 $x<-\dfrac{1}{2}$ 时，$f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}-x-x-\dfrac{1}{2}=-2x$，解 $f\left(x\right)<2$ 得 $-1<x<-\dfrac{1}{2}$；
当 $-\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，$f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}-x+x+\dfrac{1}{2}=1<2$ 恒成立；
当 $x>\dfrac{1}{2}$ 时，$f\left( x \right)=2x$，解 $f\left( x \right)<2$ 得 $\dfrac{1}{2}<x<1$．
综上可得，$M=\left\{ x\left|-1<x<1\right. \right\}$． -
证明：当时 $a,b\in M,|a+b|<|1+ab|$．标注答案略解析本小题可以先由分析法来寻找解题思路，再由综合法来叙述，如此可降低思维难度．当 $a,b\in \left( -1,1 \right)$ 时，有 $\left( {{a}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-1 \right)>0$，即 ${{a}^{2}}{{b}^{2}}+1>{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$，
则 ${{a}^{2}}{{b}^{2}}+2ab+1>{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$，
则 ${{\left( ab+1 \right)}^{2}}>{{\left( a+b \right)}^{2}}$，
即 $\left| a+b \right|<\left| ab+1 \right|$．证毕．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
