已知椭圆 $E:\dfrac {x^2}t+\dfrac {y^2}3=1$ 的焦点在 $x$ 轴上，$A$ 是 $E$ 的左顶点，斜率为 $k\left(k>0\right)$ 的直线交 $E$ 于 $A,M$ 两点，$N$ 点在 $E$ 上，$MA\perp NA$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $t=4,|AM|=|AN|$ 时，求 $\triangle AMN$ 的面积；标注答案$\dfrac{144}{49}$解析根据椭圆的对称性，得直线 $AM$ 的方程，再与椭圆的方程联立可解．根据题意画出示意图如图．
当 $|AM|=|AN|$ 时，$\triangle MAN$ 是等腰直角三角形．根据椭圆的对称性，可知 $k=1$，又 $t=4$ 时，$A$ 点的坐标为 $\left(-2,0\right)$，因此直线 $AM$ 的方程为 $x=y-2$，与椭圆 $E$ 的方程联立，可得\[y\left(\dfrac{7}{12}y-1\right)=0,\]于是点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac{12}7$，进而可得 $\triangle AMN$ 的面积\[S=\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{144}{49}.\] -
当 $2|AM|=|AN|$ 时，求 $k$ 的取值范围．标注答案$\left(\sqrt[3]2,2\right)$解析由直线 $AM$ 的倒斜横截式方程与椭圆的方程联立，可表达出点 $M$ 的纵坐标，同理可得点 $N$ 的纵坐标，结合 $2|AM|=|AN|$ 可得相应方程，解之表达出 $a^2$，再由 $a^2>3$ 得不等式，解之即可．记 $a=\sqrt t$，$m=\dfrac 1k$（$m>0$），则直线 $AM$ 的方程为 $x=my-a$，与椭圆 $E$ 的方程联立可得\[\left(\dfrac {m^2}{a^2}+\dfrac 13\right)y^2-\dfrac{2m}ay=0,\]从而点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac{6ma}{3m^2+a^2}$，因此点 $N$ 的纵坐标为\[\dfrac{-\dfrac{6a}m}{\dfrac{3}{m^2}+a^2}=\dfrac{-6ma}{3+m^2a^2},\]因此由 $2|AM|=|AN|$ 可得\[2\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\dfrac{6ma}{3m^2+a^2}=\sqrt{1+\dfrac{1}{m^2}}\cdot \dfrac{6ma}{3+m^2a^2},\]整理得\[a^2=\dfrac{3\left(m^2-2m\right)}{2m^3-1},\]根据题意，有 $a^2>3$，因此\[\dfrac{3\left(m^2-2m\right)}{2m^3-1}>3,\]解得\[\dfrac 12<m<\sqrt[3]{\dfrac 12},\]因此 $k$ 的取值范围是 $\left(\sqrt[3]2,2\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
