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设双曲线 $\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线与抛物线 $y=x^2+1$ 只有一个公共点，则双曲线的离心率为  \((\qquad)\)
A: $\dfrac 54$
B: $5$
C: $\dfrac {\sqrt 5}{2}$
D: $\sqrt 5$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    联立及韦达定理
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
【答案】
D
【解析】
根据题意，直线 $y=\dfrac bax$ 与抛物线 $y=x^2+1$ 相切，于是关于 $x$ 的方程\[x^2-\dfrac bax+1=0\]的判别式\[\Delta=\dfrac{b^2}{a^2}-4=0,\]从而双曲线的离心率\[e=\sqrt{1+\left(\dfrac ba\right)^2}=\sqrt 5.\]
题目 答案 解析 备注
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