讨论函数 $f\left(x\right)=\dfrac {x-2}{x+2}\mathrm e^x$ 的单调性，并证明当 $x>0$ 时，$\left(x-2\right)\mathrm e^x+x+2>0$；
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略．
【解析】
本小题是常规的由导函数判断单调性的问题，而由单调性，易证所给的不等式．函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left(-\infty,-2\right)\cup \left(-2,+\infty\right)$，其导函数\[f'\left(x\right)=\dfrac {x^2}{\left(x+2\right)^2}{\mathrm e}^x,\]于是函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,-2\right)$ 和 $\left(-2,+\infty\right)$ 上都单调递增．当 $x>0$ 时，有 $f\left(x\right)>f\left(0\right)=-1$，即\[\dfrac{x-2}{x+2}{\mathrm e}^x>-1,{ 即 }\left(x-2\right){\mathrm e}^x+x+2>0.\]
答案
解析
备注
