已知 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 是等差数列，$\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ 是等比数列，且 ${{b}_{2}}=3$，${{b}_{3}}=9$，${{a}_{1}}={{b}_{1}}$，${{a}_{14}}={{b}_{4}}$．
【难度】
【出处】
2016年高考北京卷（文）
【标注】
-
求 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 的通项公式；标注答案${{a}_{n}}=2n-1$．解析本题考查等差等比数列的基本量的求法．根据题意，$\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ 是等比数列，所以\[q=\dfrac{{{b}_{3}}}{{{b}_{2}}}=\dfrac{9}{3}=3,\]所以\[{{b}_{n}}={{b}_{2}}\cdot {{q}^{n-2}}=3\cdot {{3}^{n-2}}={{3}^{n-1}}.\]而由题意\[a_1={{b}_{1}}=1,{a}_{14}={{b}_{4}}=27.\]因此，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差 $d=2$，
故 ${{a}_{n}}=2n-1$． -
设 ${{c}_{n}}={{a}_{n}}+{{b}_{n}}$，求数列 $\left\{ {{c}_{n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和．标注答案${{n}^{2}}+\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{n}}-1 \right)$解析用分组求和法计算即可．由（I）知，\[{{c}_{n}}={{a}_{n}}+{{b}_{n}}=2n-1+{{3}^{n-1}},\]于是\[\begin{split}{{S}_{n}}&={{c}_{1}}+{{c}_{2}}+{{c}_{3}}+\cdots +{{c}_{n}}\\
& =a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_n+b_n \\
&=\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)+\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right)\\
& ={{n}^{2}}+\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{n}}-1 \right) .
\end{split}\]（推导中用到：）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
