题目 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过 $w$ 立方米的部分按 $4$ 元/立方米收费，超出 $w$ 立方米的部分按 $10$ 元/立方米收费．从该市随机调查了 $10000$ 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：<br><img src="/static/images/ee6367f56ab8ee9036e480193e99f904.png" class="img-responsive" />  问题1 如果 $w$ 为整数，那么根据此次调查，为使 $80\%$ 以上居民在该月的用水价格为 $4$ 元/立方米，$w$ 至少定为多少？ 答案1 $3$ 解析1 本题需要根据频率分布直方图进行计算，从而确定 $w$ 的值．由频率分布直方图知，<br/>用水量在 $\left[0.5,1\right]$ 的频率为 $0.2\times \dfrac{1}{2}=0.1$；<br/>用水量在 $\left(1,1.5\right]$ 的频率为 $0.3\times \dfrac{1}{2}=0.15$；<br/>用水量在 $\left(1.5,2\right]$ 的频率为 $0.4\times \dfrac{1}{2}=0.2$；<br/>用水量在 $\left(2,2.5\right]$ 的频率为 $0.5\times \dfrac{1}{2}=0.25$；<br/>用水量在 $\left(2.5,3\right]$ 的频率为 $0.3\times \dfrac{1}{2}=0.15$；<br/>所以用水量不超过 $2$ 的频率为 $0.1+0.15+0.2=0.45$；<br/>用水量不超过 $3$ 的频率为 $0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85$；<br/>又 $w$ 为整数，所以为使 $80\%$ 以上居民在该月的用水价格为 $4$ 元/立方米，<br/>$w$ 至少定为 $3$． 备注1 问题2 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当 $w=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费． 答案2 $10.5$ 解析2 先列出用水数据表格，然后计算人均水费．由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：<br/>$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>组号&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline<br/>分组&\left[2,4\right]&\left(4,6\right]&\left(6,8\right]&\left(8,10\right]&\left(10,12\right]&\left(12,17\right]&\left(17,22\right]&\left(22,27\right]\\\hline<br/>频率&0.1&0.15&0.2&0.25&0.15&0.05&0.05&0.05\\\hline<br/>\end{array}$<br/>根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：\[4\times 0.1+6\times 0.15+8\times 0.2+10\times 0.25+12\times 0.15+17\times 0.05+22\times 0.05+27\times 0.05=10.5.\]答：该市居民该月的人均水费为 $10.5$ 元． 备注2