题目 设函数 $f\left(x\right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$． 问题1 求曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程； 答案1 $y=bx+c$ 解析1 本题是基本的利用导函数求曲线的切线方程的问题．函数 $f\left(x\right)$ 的导函数\[f'\left(x\right)=3x^2+2ax+b,\]于是 $f\left(0\right)=c$，$f'\left(0\right)=b$，因此曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程为 $y=bx+c$． 备注1 问题2 设 $a=b=4$，若函数 $f\left(x\right)$ 有三个不同零点，求 $c$ 的取值范围； 答案2 $\left(0,\dfrac{32}{27}\right)$ 解析2 本题是利用导函数研究函数的零点的问题，可以分离变量以简化问题．函数 $f\left(x\right)$ 的零点即方程 $x^3+4x^2+4x=-c$ 的实数根，令 $g\left(x\right)=x^3+4x^2+4x$，则其导函数\[g'\left(x\right)=3x^2+8x+4=\left(3x+2\right)\left(x+2\right),\]于是函数 $g\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,-2\right)$ 上单调递增，在 $\left(-2,-\dfrac 23\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\dfrac 23,+\infty\right)$ 上单调递增，其极大值为 $g\left(-2\right)=0$，极小值为 $g\left(-\dfrac 23\right)=-\dfrac{32}{27}$．<br/>依题意，函数 $y=g\left(x\right)$ 与 $y=-c$ 有三个不同的公共点，因此\[-\dfrac{32}{27}<-c<0,解得0<c<\dfrac{32}{27},\]因此 $c$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{32}{27}\right)$． 备注2 问题3 求证：${{a}^{2}}-3b>0$ 是 $f\left(x\right)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件． 答案3 略 解析3 第（3）小题是在第（2）小题的基础上进行的一点点延伸．分两步证明．<br/>必要性<br/>若连续函数 $f\left(x\right)$ 有三个不同零点，那么 $f\left(x\right)$ 的单调性必然变化至少 $2$ 次，因此其导函数必然有 $2$ 个不同的零点，从而 $f'\left(x\right)$ 的判别式\[\Delta=4\left(a^2-3b\right)>0,\]从而 $a^2-3b>0$．<br/>非充分性<br/>取 $a=0,b=-3,c=3$，则函数 $f\left(x\right)=x^3-3x+3$，其导函数\[f'\left(x\right)=3\left(x+1\right)\left(x-1\right),\]于是其极大值为 $f\left(-1\right)=5$，其极小值为 $f\left(1\right)=1$，此时函数 $f\left(x\right)$ 只有 $1$ 个零点．<br/>综上所述，$a^2-3b>0$ 是 $f\left(x\right)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件． 备注3