题目 设函数 $f\left(x\right)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx$，曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(2,f\left(2\right)\right)$ 处的切线方程为 $y=\left(\mathrm e-1\right)x+4$． 问题1 求 $a$，$b$ 的值； 答案1 $a=2$，$b=\mathrm e$ 解析1 本题是典型的利用导函数求函数的切线方程的问题．函数 $f\left(x\right)$ 的导函数\[f'\left(x\right)={\mathrm e}^{a-x}\left(1-x\right)+b,\]因此根据题意有\[\begin{cases} f\left(2\right)=2\left({\mathrm e}-1\right)+4,\\ f'\left(2\right)={\mathrm e}-1,\end{cases} \]解得\[\begin{cases} a=2,\\ b=\mathrm{e}.\end{cases} \] 备注1 问题2 求 $f\left(x\right)$ 的单调区间． 答案2 在 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 单调递增，无减区间． 解析2 本题是简单的利用导函数研究函数的单调性的问题．由（1）可知，\[f\left(x\right)=x\mathrm{e}^{2-x}+\mathrm{e}x, f'\left(x\right)=\mathrm{e}\left[\left(1-x\right)\mathrm{e}^{1-x}+1\right].\]考察函数 $g\left(x\right)=x\mathrm{e}^x+1, x\in\mathbb{R}$，由于\[g'\left(x\right)=\mathrm{e}^x\left(x+1\right),\]故 $g\left(x\right)$ 的最小值为\[g\left(-1\right)=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}>0,\]由此可知 $f'\left(x\right)>0$．所以 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增． 备注2