已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，$A\left(a,0\right)$，$B\left(0,b\right)$，$O\left(0,0\right)$，$\triangle OAB$ 的面积为 $1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+y^2=1$解析本题考查椭圆的方程与基本量．根据题意画出示意图如图．
根据椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$ 可得 $a^2=4b^2$，又 $\triangle OAB$ 的面积 $\dfrac 12ab=1$，于是可得 $a=2$，$b=1$，因此椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$． -
设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$．求证：$|AN|\cdot |BM|$ 为定值．标注答案$4$解析本题考查基本的利用代数方法研究几何的能力，可以采用参数方程和仿射变换两种解法．法一：参数方程解法
设 $P$ 点坐标为 $\left(2\cos{\theta},\sin\theta\right)$，可求得 $M$ 点坐标为 $\left(0,\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right)$，$N$ 点坐标为 $\left(\dfrac{2\cos\theta}{1-\sin\theta},0\right)$，故\[\left|AN\right|\cdot\left|BM\right|=\left|\left(\dfrac{2\cos\theta}{1-\sin\theta}-2\right)\left(\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}-1\right)\right|=2\left|\dfrac{\left(\sin\theta+\cos\theta -1\right)^2}{\left(1-\sin\theta\right)\left(1-\cos\theta\right)}\right|=4.\]（推导中用到：）为定值，因此原命题得证．
法二：仿射变换解法
在仿射变换$\begin{cases} x'=x,\\ y'=2y\end{cases}$ 下椭圆 $C$ 变为圆 $C':x'^2+y'^2=4$．
设 $A,B,P,M,N$ 的对应点分别为 $A',B',P',M',N'$，连接 $A'B'$，如图．
由 $\angle B'A'N'=\angle A'B'M'=45^\circ$，且\[\angle A'B'N'=45^\circ+\angle OB'N'=\angle P'+\angle OB'N'=\angle A'M'B',\]可得 $\triangle A'B'N'$ 与 $\triangle B'M'A'$ 相似，于是\[\dfrac{|A'N'|}{|B'A'|}=\dfrac{|A'B'|}{|B'M'|},{ 即 }|A'N'|\cdot |B'M'|=|A'B'|^2=8,\]因此\[|AN|\cdot 2|BM|=8,{ 即 }|AN|\cdot |BM|=4\]为定值，原命题得证（同时，我们也得到了对一般的椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的结论：$|AN|\cdot |BM|=2ab$．）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
