题目 设数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_N\left(N\geqslant 2\right)$．如果对小于 $n\left(2\leqslant n\leqslant N\right)$ 的每个正整数 $k$ 都有 $a_k<a_n$，则称 $n$ 是数列 $A$ 的一个“$G$ 时刻”．记 $G\left(A\right)$ 是数列 $A$ 的所有“$G$ 时刻”组成的集合． 问题1 对数列 $A:-2,2,-1,1,3$，写出 $G\left(A\right)$ 的所有元素； 答案1 $G\left(A\right)=\left\{2,5\right\}$ 解析1 本题是为了让解题者熟悉“$G$ 时刻”所作的铺垫．<u>略</u> 备注1 问题2 证明：若数列 $A$ 中存在 $a_n$ 使得 $a_n>a_1$，则 $G\left(A\right)\ne \varnothing$； 答案2 略 解析2 本题提示解题者将具体的“$G$ 时刻”设出，然后利用其定义解决问题，考查了最值原理．若数列 $A$ 中存在 $a_n$ 使得 $a_n>a_1$，不妨假设 $a_k \left(2 \leqslant k \leqslant N\right) $ 是 $a_2,a_3,\cdots,a_N$ 中第一个大于 $a_1$ 的数，则对小于 $k$ 的每个正整数 $i$ 都有 $a_i\leqslant a_1<a_k$，所以 $k\in G\left(A\right)$，故 $G\left(A\right)\ne \varnothing $． 备注2 问题3 证明：若数列 $A$ 满足 $a_n-a_{n-1}\leqslant 1\left(n=2,3,\cdots,N\right)$，则 $G\left(A\right)$ 的元素个数不小于 $a_N-a_1$． 答案3 略 解析3 本题中结论的形式 $a_N-a_1$ 提示我们去寻找类似于“裂项”的结构．（i）若 $G\left(A\right)=\varnothing $，则由第（2）题可知，$a_N \leqslant a_1$，此时结论成立．<br/>（ii）若 $G\left(A\right)\ne \varnothing$，设 $G\left(A\right)=\left\{i_1,i_2,\cdots,i_k\right\}$，其中 $i_j \in \left\{2,3,\cdots,N\right\}, j=1,2,\cdots,k$．不妨设 $i_1<i_2<\cdots<i_k$．由题意，$a_{i_1}>a_1 \geqslant a_{i_1-1}$，所以\[a_{i_1}-a_1 \leqslant a_{i_1}-a_{i_1-1} \leqslant 1,\]同理，$a_{i_2}>a_{i_1} \geqslant a_{i_2-1}$，所以\[a_{i_2}-a_{i_1} \leqslant a_{i_2}-a_{i_2-1} \leqslant 1,\]以此类推，我们有\[\begin{split}a_{i_1}-a_1 \leqslant a_{i_1}-a_{i_1-1} &\leqslant 1,\\a_{i_2}-a_{i_1} \leqslant a_{i_2}-a_{i_2-1} &\leqslant 1,\\ \cdots\cdots\cdots,\\a_{i_k}-a_{i_{k-1}} \leqslant a_{i_k}-a_{i_k-1} &\leqslant 1.\end{split} \]将以上各式叠加，我们得到\[a_N-a_1 \leqslant a_{i_k}-a_1 \leqslant k,\]故此时结论也成立．<br/>综合（i）（ii）可知，若数列 $A$ 满足 $a_n-a_{n-1}\leqslant 1\left(n=2,3,\cdots,N\right) $，则 $G\left(A\right)$ 的元素个数不小于 $a_N-a_1$． 备注3