题目 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 $1$，$S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{n+1}=qS_n+1$，其中 $q>0$，$n\in\mathbb{N^*}$． 问题1 若 $a_2,a_3,a_2+a_3$ 成等差数列，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； 答案1 ${{a}_{n}}={{2}^{n-1}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$． 解析1 将题中条件“和式”通过下标变换得到递推公式，证明出数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，再根据条件“三项成等差”得出首项和公比即可．由题 ${{S}_{n+1}}=q{{S}_{n}}+1\cdots\cdots ① $，可知<br/>当 $n\geqslant 2$ 时，${{S}_{n}}=q{{S}_{n-1}}+1\cdots\cdots ② $，两式相减可得\[{{a}_{n+1}}=q{{a}_{n}}.\]即数列 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 从第二项开始为公比是 $q$ 的等比数列，当 $n=1$ 时，带入可得\[{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=q{{a}_{1}}+1\]所以 ${{a}_{2}}=q$，即数列 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 为公比是 $q$ 的等比数列，根据 $2{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{2}}+2$ 成等差数列，由等差数列性质可得\[2{{a}_{2}}+{{a}_{2}}+2=3{{a}_{2}}+2=2{{a}_{3}}.\]即 $2{{q}^{2}}-3q-2=0$，求解可得 $q=2$ 或 $q=-\dfrac{1}{2}$，由题 $q>0$ 可知，$q=2$；<br/>所以 ${{a}_{n}}={{2}^{n-1}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$． 备注1 问题2 设双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1$ 的离心率为 $e_n$，且 $e_2=2$，求 $e_1^2+e_2^2+\cdots+e_n^2$． 答案2 $e_1^2+e_2^2+\cdots+e_n^2=n+\dfrac12\left(3^n-1\right)$ 解析2 根据双曲线离心率求法，求出 $e_n$ 是解决本题的关键．由（1）可知，$a_n=q^{n-1}$，所以双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1$ 的离心率\[e_n=\sqrt{1+a_n^2}=\sqrt{1+q^{2\left(n-1\right)}},\]由 $e_2=\sqrt{1+q^2}=2$，解得 $q=\sqrt3$，所以\[\begin{split}e_1^2+e_2^2+\cdots+e_n^2&=\left(1+1\right)+\left(1+q^2\right)+\cdots+\left[1+q^{2\left(n-1\right)}\right]\\&\overset{\left[a\right]}=n+\left[1+q^2+\cdots+q^{2\left(n-1\right)}\right]\\&=n+\dfrac{q^{2n}-1}{q^2-1}\\&=n+\dfrac12\left(3^n-1\right).\end{split}\]（推导中用到[a]） 备注2