设函数 $f\left(x\right)=ax^2-a-\ln x$，$g\left(x\right)=\dfrac 1x-\dfrac {\mathrm e}{{\mathrm e}^x}$，其中 $a\in\mathbb R$，$\mathrm e=2.718\cdots $ 为自然对数的底数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；标注答案当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递减；
当 $a>0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt{\dfrac{1}{2a}},+\infty\right)$ 上单调递增．解析本小题考查利用导函数研究函数的单调性；函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left(0,+\infty\right)$，其导函数\[f'\left(x\right)=\dfrac{2ax^2-1}x,x>0,\]于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递减；当 $a>0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt{\dfrac{1}{2a}},+\infty\right)$ 上单调递增． -
证明：当 $x>1$ 时，$g\left(x\right)>0$；标注答案略解析本题为常规的恒成立问题，构造函数研究其最值即可．欲证明的不等式即\[\dfrac{{\mathrm e}^x}{x}>{\mathrm e},x>1.\]令 $h\left(x\right)=\dfrac{{\mathrm e}^x}{x}$，则其导函数\[h'\left(x\right)=\dfrac{{\mathrm e}^x\left(x-1\right)}{x^2},\]于是当 $x>1$ 时，$h\left(x\right)$ 单调递增，因此在区间 $\left(1,+\infty\right)$ 上有 $h\left(x\right)>h\left(1\right)={\mathrm e}$，原命题得证．
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确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f\left(x\right)>g\left(x\right)$ 在区间 $\left(1,+\infty\right)$ 内恒成立．标注答案$a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．解析本小题可以利用端点分析得到分界点，然后适当放缩进行论证．结合第（2）小问，可以使得论证更加简单．题中不等式即\[a\left(x^2-1\right)-\ln x-\dfrac 1x+{\mathrm e}^{1-x}>0,\]记左侧为函数 $l\left(x\right)$，其导函数为\[l'\left(x\right)=2ax-\dfrac 1x+\dfrac{1}{x^2}-{\mathrm e}^{1-x}.\]注意到 $l\left(1\right)=0$，于是可以分析端点$x=1$ 处的导函数值 $l'\left(1\right)=2a-1$，得到分界点 $a=\dfrac 12$．在以下讨论中，默认 $x$ 的范围是 $\left(1,+\infty\right)$．
① $a\geqslant \dfrac 12$．
此时有\[l\left(x\right)\geqslant \dfrac 12\left(x^2-1\right)-\ln x-\dfrac 1x+{\mathrm e}^{1-x},\]记右侧为函数 $h\left(x\right)$，则其导函数\[h'\left(x\right)=x-\dfrac 1x+\dfrac 1{x^2}-{\mathrm e}^{1-x}.\]我们熟知 $\ln x<x-1$，从而 $1-x<\ln \dfrac 1x$，即 ${\mathrm e}^{1-x}<\dfrac 1x$，因此\[h'\left(x\right)>x-\dfrac 1x+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac 1x=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)}{x^2}>0,\]于是函数 $h\left(x\right)$ 单调递增，而 $h\left(1\right)=0$，因此 $l\left(x\right)\geqslant h\left(x\right)>0$，符合题意．
② $a<\dfrac 12$．
i）$a\leqslant 0$ 时，根据第（1）小题结论，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递减，因此当 $x>1$ 时，$f\left(x\right)<f\left(1\right)=0$，而根据第（2）小题，$g\left(x\right)>0$，不符合题意；
ii）$0<a<\dfrac 12$ 时，根据第（1）小题结论，函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(1,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上单调递减，因此当 $x>1$ 时，$f\left(x\right)<f\left(1\right)=0$，而根据第（2）小题结论，$g\left(x\right)>0$，不符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
