数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=2^{n-1}$．

先根据已知条件求出等比数列的公比 $ q$ 和首项 $a_1 $，再代入通项公式即可．设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $q$．
由\[\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_2}=\dfrac 2{a_3},\]得\[\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_1q}=\dfrac 2{a_1q^2},\]解得 $q=2$ 或 $q=-1$．
又因为 $S_6=63$，所以\[\dfrac {a_1\left( 1-q^6\right)}{1-q} = 63,\]知 $q\neq -1$，所以 $q=2$，解得 $a_1=1$．
所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=a_1q^{n-1}=2^{n-1}$．

数列 $\left\{{{\left(-1\right)}^{n}}b_{n}^{2}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $ 2{{n}^{2}} $．

先由等差中项的性质，结合（1）的结论和对数的运算得到 $b_n$，再通过 $b_n$ 的特点知，所求数列的前 $2n$ 项的和可以两两分组后利用等差数列的相关公式求解．本题求数列前 $2n$ 项的和，难度有所降低，如果求前 $n$ 项和则需对 $n$ 进行奇偶讨论．由题意，得\[\begin{split}{{b}_{n}}&\overset{\left[a\right]}=\frac{1}{2}\left({{\log }_{2}}{{a}_{n}}+{{\log }_{2}}{{a}_{n+1}}\right)\\&=\frac{1}{2}\left({{\log }_{2}}{{2}^{n-1}}+{{\log }_{2}}{{2}^{n}}\right)\\&\overset{\left[b\right]}=n-\frac{1}{2}.\end{split}\]（推导中用到 [a]，[b]．）因为\[b_n-b_{n-1}=\left(n-\dfrac 12\right)-\left[\left(n-1\right)-\dfrac 12\right]=1,\]且 $b_1=1-\dfrac 12=\dfrac 12$．
所以数列 $\left\{{{b}_{n}}\right\}$ 是首项为 $\dfrac{1}{2}$，公差为 $1$ 的等差数列．
设数列 $\left\{{{\left(-1\right)}^{n}}b_{n}^{2}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${{T}_{n}}$，则\[\begin{split}{{T}_{2n}}&=\left(-b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)+\left(-b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)+\cdot \cdot \cdot +\left(-b_{2n-1}^{2}+b_{2n}^{2}\right)\\&={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{b}_{2n}}\\&\overset{\left[c\right]}=\frac{2n\left({{b}_{1}}+{{b}_{2n}}\right)}{2}\\&=2{{n}^{2}}.\end{split}\]（推导中用到 [c]．）