设椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}3=1\left(a>\sqrt 3\right)$ 的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$，已知 $\dfrac 1{|OF|}+\dfrac 1{|OA|}=\dfrac {3e}{|FA|}$，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆离心率．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆的方程；标注答案椭圆方程为 $ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 $．解析本题考查椭圆的基本量与方程．由 $ \dfrac {1}{\left|OF\right|}+\dfrac {1}{\left|OA\right|}=\dfrac {3e}{\left|FA\right|} $，可知\[ \dfrac{1}{c }+\dfrac{1}{a}=\dfrac{3\cdot\dfrac{c}{a} }{a-c}, \]解得 $ a=2 $．故椭圆方程为 $ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 $．
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设过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆交于点 $B$（$B$ 不在 $x$ 轴上），垂直于 $l$ 的直线与 $l$ 交于点 $M$，与 $y$ 轴交于点 $H$．若 $BF\perp HF$，且 $\angle MOA=\angle MAO$，求直线 $l$ 的斜率．标注答案直线 $ l $ 的斜率为 $ \pm \dfrac{\sqrt{6} }{4} $．解析不需要联立直线与椭圆方程，直接以 $B$ 点坐标为参数展开计算即可．分析出 $ M $ 的横坐标等于 $1 $ 是解题的关键．如图，设 $ B $ 点坐标为 $ \left(2\cos\theta,\sqrt{3}\sin\theta \right) $，其中 $ \sin\theta\ne 0 $，$ H $ 点坐标为 $ \left(0,h\right) $．
因为 $ BF \perp HF $，故 $ \overrightarrow {FB}\cdot\overrightarrow {FH}=0 $，解得\[ h=\dfrac{2\cos\theta-1}{\sqrt{3}\sin\theta }. \]因为 $ M $ 点在直线 $ l $ 上，所以可以设 $ M $ 点坐标为 $ \left(m,\dfrac{\sqrt{3}\left(m-2\right)\sin\theta }{2\cos\theta-2} \right) $．由题意，$ HM\perp AB $，所以\[\begin{split}\overrightarrow {HM}\cdot\overrightarrow {AB}&=\left(m,\dfrac{\sqrt{3}\left(m-2\right)\sin\theta }{2\cos\theta-2}-\dfrac{2\cos\theta-1}{\sqrt{3}\sin\theta }\right)\cdot\left(2\cos\theta-2,\sqrt{3}\sin\theta \right) \\&= \left(\dfrac{1}{2}\cos\theta-\dfrac{7}{2} \right)m+4+\cos\theta \\&=0,\end{split} \]故 $ m=\dfrac{8+2\cos\theta}{7-\cos\theta} $，因为 $ \angle MOA= \angle MAO $，所以 $ m = 1 $，解得 $ \cos\theta = -\dfrac{1}{3} $．从而 $ M\left(1,\pm\dfrac{\sqrt 6}4\right) $，所以直线 $ l $ 的斜率为 $ \pm \dfrac{\sqrt{6} }{4} $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
