略

本小问考查利用导函数研究函数的单调性．根据题意，函数 $ f\left(x\right) $ 的导函数\[g\left(x\right)=f'\left(x\right)=\ln x-2a\left(x-1\right),x>0,\]而函数 $ g\left(x\right) $ 的导函数\[g'\left(x\right)=\dfrac{1-2ax}x,x>0.\]情形一 $ a\leqslant 0 $．
此时在 $ \left(0,+\infty\right) $ 上，$ g'\left(x\right)>0 $，于是 $ g\left(x\right) $ 的单调递增区间是 $ \left(0,+\infty\right) $．
情形二 $ a>0 $．
此时函数 $ g\left(x\right) $ 的单调递增区间是 $ \left(0,\dfrac 1{2a}\right) $，单调递减区间是 $ \left(\dfrac{1}{2a},+\infty\right) $．

$ \left(\dfrac 12,+\infty\right) $

本小问可以通过端点分析得到分界点 $ \dfrac 12 $，难点在于 $ a\leqslant \dfrac 12 $ 时的论证，但有第（1）小题的铺垫，亦不难解决．考虑到 $ f'\left(1\right)=0 $，于是当 $ f\left(x\right) $ 在 $ x=1 $ 处取得极大值时，必然在 $ x=1 $ 的左邻域内单调递增，在 $ x=1 $ 的右邻域内单调递减．注意到 $ f''\left(1\right)=g'\left(1\right)=1-2a $，因此得到分界点 $ \dfrac 12 $．
情形一：$ a>\dfrac 12 $．
此时函数 $ f'\left(x\right) $ 在 $ \left(\dfrac{1}{2a},+\infty\right) $ 上单调递减，而 $ f'\left(1\right)=0 $，于是在区间 $ \left(\dfrac{1}{2a},1\right) $ 上有 $ f'\left(x\right)>0 $，在区间 $ \left(1,+\infty\right) $ 上有 $ f'\left(x\right)<0 $，因此函数 $ f\left(x\right) $ 在 $ x=1 $ 处取得极大值，符合题意．
情形二：$ a\leqslant \dfrac 12 $．
（i）若 $ a\leqslant 0 $，则函数 $ f'\left(x\right) $ 在 $ \left(0,+\infty\right) $ 上单调递增，而 $ f'\left(1\right)=0 $，此时在区间 $ \left(0,1\right) $ 上有 $ f'\left(x\right)<0 $，因此函数 $ f\left(x\right) $ 在 $ x=1 $ 处不能取得极大值，不符合题意．
（ii）若 $ 0<a<\dfrac 12 $，则函数 $ f'\left(x\right) $ 在 $ \left(0,\dfrac{1}{2a}\right) $ 上单调递增，而 $ \dfrac 1{2a}> 1 $ 且 $ f'\left(1\right)=0 $，此时在区间 $ \left(1,\dfrac{1}{2a}\right) $ 上有 $ f'\left(x\right)>0 $，因此函数 $ f\left(x\right) $ 在 $ x=1 $ 处不能取得极大值，不符合题意．
（iii）若 $ a=\dfrac 12 $，则函数 $ f'\left(x\right) $ 在 $ \left(0,1\right) $ 上单调递增，在 $ \left(1,+\infty\right) $ 上单调递减，于是 $ f'\left(x\right)\leqslant 0 $，不符合题意．
综上所述，$ a $ 的取值范围为 $ \left(\dfrac 12,+\infty\right) $．