平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\left(a>b>0\right)$ 的离心率是 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$，抛物线 $E:x^{2}=2y$ 的焦点 $F$ 是 $C$ 的一个顶点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$ x^2+4y^2=1 $解析本小问考查椭圆的基本量，属于基础题．根据题意，有 $ F $ 点的坐标为 $ \left(0,\dfrac 12\right) $，于是 $ b=\dfrac 12 $．又根据离心率为 $ \dfrac{\sqrt 3}2 $ 可得\[ a^2=4b^2=1, \]于是椭圆 $ C $ 的方程为 $ x^2+4y^2=1 $．
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设 $P$ 是 $E$ 上的动点，且位于第一象限，$E$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $D$．直线 $OD$ 与过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $M$．
① 求证：点 $M$ 在定直线上；
② 直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $G$，记 $\triangle PFG$ 的面积为 $S_{1}$，$\triangle PDM$ 的面积为 $S_{2}$，求 $\dfrac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值及取得最大值时点 $P$ 的坐标．标注答案点 $ M $ 在定直线 $ y=-\dfrac 14 $ 上；$ \left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac 14\right) $．解析考查直线与圆锥曲线的位置关系以及面积问题，其中切线问题可以用“圆锥曲线的切线方程”解决，而涉及的弦中点问题，则可以用“有心二次曲线的垂径定理”轻松化解．① 设 $ P\left(2t,2t^2\right) $（$ t>0 $），则切线 $ l $ 的方程为 $ y=2tx-2t^2 $．设点 $ A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right) $，将两点满足的椭圆方程相减整理得（即椭圆的“垂径定理”）直线 $ OM $ 的斜率与直线 $ AB $ 的斜率满足\[ k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}, \]从而可得 $ k_{OM}=-\dfrac{1}{8t} $，于是不难计算得 $ M $ 的坐标为 $ \left(2t,-\dfrac 14\right) $，因此点 $ M $ 在定直线 $ y=-\dfrac 14 $ 上．
② 由 $ \triangle DPM $ 与 $ \triangle DGO $ 相似可得\[ S_2=\dfrac{|PM|}{|PM|+|OG|}\cdot \dfrac 12\cdot |PM|\cdot d\left(O,PM\right), \]因此\[ \begin{split}\dfrac{S_1}{S_2}&=\dfrac{ \left(2t^2+\dfrac 12\right)\cdot 2t}{2t\cdot\left(2t^2+\dfrac 14\right)\cdot\dfrac{2t^2+\dfrac 14}{4t^2+\dfrac 14}}\\&=\dfrac{\left(8t^2+2\right)\left(16t^2+1\right)}{\left(8t^2+1\right)^2} \leqslant \left[\dfrac{\left(8t^2+2\right)+\left(16t^2+1\right)}2\right]^2\cdot \dfrac{1}{\left(8t^2+1\right)^2}\\& =\dfrac 94, \end{split}\]等号当 $ 8t^2+2=16t^2+1 $，即 $ t=\dfrac{1}{2\sqrt 2} $ 时取得．因此所求的最大值为 $ \dfrac 94 $，此时点 $ P $ 的坐标为 $ \left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac 14\right) $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
