抛物线 $C$ 的方程为 $ {{y}^{2}}=8x$．

考查抛物线的基本量与方程．因为 $ l:x-y-2=0$，所以 $l$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $\left( {2,0} \right)$
即抛物线的焦点为 $\left( {2,0} \right)$，所以 $ \dfrac{p}{2}=2$，所以
$ {{y}^{2}}=8x$．

① 略；
② $p$ 的取值范围为 $ \left( 0,\dfrac{4}{3} \right)$．

本题是典型的弦中点问题，可考虑用点差法解决．① 设点 $P\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$，$Q\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$．则\[\begin{cases}
{{y}_{1}}^{2}=2p{{x}_{1}} , \\
{{y}_{2}}^{2}=2p{{x}_{2}}, \\
\end{cases} \]即\[ \begin{cases}\dfrac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}={{x}_{1}} , \\
\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}={{x}_{2}}, \\
\end{cases} \]因为\[{{k}_{PQ}}=\dfrac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{\dfrac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}-\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}}=\dfrac{2p}{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}},\]又因为 $ P,Q$ 关于直线 $l$ 对称，所以 $ {{k}_{PQ}}=-1$，即 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-2p$，所以 $ \dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}=-p$．
又因为 $ PQ$ 中点一定在直线 $l$ 上，所以 $ \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}+2=2-p$，
所以线段 $PQ$ 的中点坐标为 $\left( 2-p,-p \right)$．
② 因为中点坐标为 $\left( 2-p,-p \right)$，所以\[ \begin{cases}
{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-2p , \\
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{2p}=4-2p ,\\
\end{cases} \]即\[ \begin{cases}{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-2p , \\
{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=8p-4{{p}^{2}} ,\\
\end{cases} \]所以\[ \begin{cases}{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-2p , \\
{{y}_{1}}{{y}_{2}}=4{{p}^{2}}-4p, \\
\end{cases} \]即关于 $y$ 的方程 ${{y}^{2}}+2py+4{{p}^{2}}-4p=0$ 有两个不等根．
所以 $ \Delta >0$，即 ${{\left( 2p \right)}^{2}}-4\left( 4{{p}^{2}}-4p \right)>0$，解得 $0<p<\dfrac 43$．所以 $ p\in \left( 0,\dfrac{4}{3} \right)$．