在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$．已知 $b+c=2a\cos B$．
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（文）
【标注】
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证明：$A=2B$；标注答案略解析利用正弦定理转化为角之间的关系，然后根据辅助角公式、诱导公式化简即可．由正弦定理得\[\sin B+\sin C=2\sin A\cos B,\]故\[\begin{split}2\sin A\cos B&\overset{\left[a\right]}=\sin B+\sin\left(A+B\right)\\&\overset{\left[b\right]}=\sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B,\end{split}\]（推导中用到：[a][b]）于是\[\sin B=\sin \left(A-B\right).\]又 $A,B\in\left(0,{\mathrm \pi} \right)$，故 $0<A-B<{\mathrm \pi} $，所以\[B={\mathrm \pi} -\left(A-B\right) 或 B=A-B,\]因此\[A={\mathrm \pi} \left( 舍 \right) 或 A=2B,\]所以 $A=2B$．
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若 $\cos B=\dfrac 23$，求 $\cos C$ 的值．标注答案$\dfrac{22}{27}$解析注意到在三角形 $ABC$ 中，$\cos C=\cos\left[{\mathrm \pi} -\left(A+B\right)\right]$，然后利用诱导公式、同角三角函数关系式、倍角公式等进行计算即可．由 $\cos B=\dfrac 23$ 得$\sin B=\dfrac{\sqrt 5}3$，于是\[\cos 2B=2\cos^2B-1=-\dfrac 19,\]故\[\cos A=-\dfrac 19,\sin A=\dfrac{4\sqrt 5}9.\]所以\[\begin{split}\cos C&\overset{\left[a\right]}=-\cos\left(A+B\right)\\&\overset{\left[b\right]}=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\\&=\dfrac{22}{27}.\end{split}\]（推导中用到：[a][b]）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
