题目 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．已知 $S_2=4$，$a_{n+1}=2S_n+1$，$n\in {\mathbb N}^*$． 问题1 求通项公式 $a_n$； 答案1 $a_n=3^{n-1},n\in \mathbb{N}^*$ 解析1 本题先作差把 $S_n$ 去掉，转化为递推公式，然后再处理即可．由题意得\[\begin{cases}a_1+a_2=4,\\a_2=2a_1+1,\end{cases}\]则\[\begin{cases}a_1=1,\\a_2=3.\end{cases}\]又当 $n\geqslant 2$ 时，由\[a_{n+1}-a_n=\left(2S_n+1\right)-\left(2S_{n-1}+1\right)=2a_n,\]得\[a_{n+1}=3a_n.\]所以，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为\[a_n=3^{n-1},n\in \mathbb{N}^*.\] 备注1 问题2 求数列 $\left\{\left|a_n-n-2\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和． 答案2 $ T_n=\begin{cases}2,n=1,\\\dfrac{3^n-n^2-5n+11}{2},n\geqslant 2.\end{cases} $ 解析2 本题的关键在于去绝对值，然后分组求和即可得到结果．设 $b_n=|3^{n-1}-n-2|,n\in \mathbb{N}^*$，$b_1=2$，$b_2=1$．<br/>当 $n\geqslant 3$ 时，由于 $3^{n-1}>n+2$，故\[b_n=3^{n-1}-n-2,n\geqslant 3.\]设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则 $T_1=2$，$T_2=3$．<br/>当 $n\geqslant 3$ 时\[\begin{split}T_n&=3+\dfrac{9\left(1-3^{n-2}\right)}{1-3}-\dfrac{\left(n+7\right)\left(n-2\right)}{2}\\&=\dfrac{3^n-n^2-5n+11}{2}.\end{split}\]（推导中用到：）所以\[T_n=\begin{cases}2,n=1,\\\dfrac{3^n-n^2-5n+11}{2},n\geqslant 2.\end{cases}\] 备注2