已知 $a\geqslant 3$，函数 $F\left(x\right)=\min\left\{2|x-1|,x^2-2ax+4a-2\right\}$，其中 $\min\left\{x,y\right\}= \begin{cases}x,x\leqslant y,\\ y,x>y. \end{cases} $
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求使得等式 $F\left(x\right)=x^2-2ax+4a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围；标注答案$\left[2,2a\right]$解析本题可以做差，分析 $F\left(x\right)=x^2-2ax+4a-2$ 成立的条件，注意分类讨论去绝对值．由于 $a\geqslant 3$，故
当 $x\leqslant 1$ 时，$\left(x^2-2ax+4a-2\right)-2|x-1|=x^2+2\left(a-1\right)\left(2-x\right)>0$，
当 $x>1$ 时，$\left(x^2-2ax+4a-2\right)-2|x-1|=\left(x-2\right)\left(x-2a\right)$．
所以，使得等式 $F\left(x\right)=x^2-2ax+4a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围为 $\left[2,2a\right]$． -
（i）求 $F\left(x\right)$ 的最小值 $m\left(a\right)$；
（ii）求 $F\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,6\right]$ 上的最大值 $M\left(a\right)$．标注答案（i）$m\left(a\right)= \begin{cases}0,3\leqslant a\leqslant 2+\sqrt 2,\\-a^2+4a-2,a>2+\sqrt 2.\end{cases} $；
（ii）$M\left(a\right)= \begin{cases}34-8a,3\leqslant a<4,\\2,a\geqslant 4.\end{cases} $解析本题是经典的含参二次函数的讨论问题，注意分析区间端点展开讨论．（i）设函数 $f\left(x\right)=2|x-1|$，$g\left(x\right)=x^2-2ax+4a-2$，则\[ \begin{split}&f\left(x\right)_{\mathrm {min}}=f\left(1\right)=0,\\&g\left(x\right)_{\mathrm {min}}=g\left(a\right)=-a^2+4a-2.\end{split} \]所以，由 $F\left(x\right)$ 的定义知$m\left(a\right)=\mathrm {min}\left\{f\left(1\right),g\left(a\right)\right\}$，即\[m\left(a\right)= \begin{cases}0,3\leqslant a\leqslant 2+\sqrt 2,\\-a^2+4a-2,a>2+\sqrt 2.\end{cases} \]（ii）当 $0\leqslant x\leqslant 2$ 时\[F\left(x\right)=f\left(x\right)\leqslant \mathrm {max}\left\{f\left(0\right),f\left(2\right)\right\}=2=F\left(2\right),\]当 $2\leqslant x\leqslant 6$ 时\[F\left(x\right)=g\left(x\right)\leqslant \mathrm {max}\left\{g\left(2\right),g\left(6\right)\right\}=\mathrm {max}\left\{2,34-8a\right\}=\mathrm {max}\left\{F\left(2\right),F\left(6\right)\right\}.\]所以\[M\left(a\right)= \begin{cases}34-8a,3\leqslant a<4,\\2,a\geqslant 4.\end{cases} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
