如图，设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(a>1\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求直线 $y=kx+1$ 被椭圆截得到的弦长（用 $a,k$ 表示）；标注答案$\dfrac{2a^2|k|\cdot\sqrt{1+k^2}}{1+a^2k^2}$解析本题是基础的弦长问题，联立即可．联立直线与椭圆的方程，可得\[\left(1+a^2k^2\right)x^2+2a^2kx=0,\]从而所求的弦长为\[\sqrt{1+k^2}\cdot \dfrac{2a^2|k|}{1+a^2k^2}=\dfrac{2a^2|k|\cdot\sqrt{1+k^2}}{1+a^2k^2}.\]
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若任意以点 $A\left(0,1\right)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．标注答案$\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$解析本题需要构造函数，将圆与椭圆的公共点与函数的零点对应起来．如图，设 $M\left(x,y\right)$ 是椭圆上一点，连接 $MA$．
由于\[\begin{split}|MA|^2&=x^2+\left(y-1\right)^2\\&=a^2\left(1-y^2\right)+\left(y-1\right)^2\\&=\left(1-a^2\right)y^2-2y+a^2+1.\end{split}\]考虑函数\[t=\left(1-a^2\right)y^2-2y+a^2+1,-1\leqslant y\leqslant 1\]的图象与直线 $t=r^2$ 的公共点，其中 $a>1$，$r$ 为圆的半径．当公共点对应的 $y=\pm 1$ 时，一个公共点对应圆与椭圆的一个公共点；当公共点对应的 $y\in \left(-1,1\right)$ 时，一个公共点对应圆与椭圆的两个公共点．根据题意，可得函数\[t=\left(1-a^2\right)y^2-2y+a^2+1,-1\leqslant y\leqslant 1\]为单调函数，否则必然存在直线 $t=r^2$ 与之有两个公共点，且其对应的 $y$ 均在区间 $\left(-1,1\right)$．考虑到其对称轴为 $y=\dfrac{1}{1-a^2}$，而 $a^2>1$，因此\[\dfrac{1}{1-a^2}\leqslant -1, 解得 1< a^2\leqslant 2,\]进而可得椭圆的离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
