设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\left|a_n-\dfrac {a_{n+1}}2\right|\leqslant 1,n\in \mathbb N^*$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$\left|a_n\right|\geqslant 2^{n-1}\left(\left|a_1\right|-2\right),\left(n\in \mathbb N^*\right)$；标注答案略解析本题是对数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个上下界估计，利用好递推结构不难证明．根据已知，有\[\left|\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}\right|\leqslant \dfrac{1}{2^n},n=1,2,\cdots \]累加，有\[\left|\dfrac{a_n}{2^n}-\dfrac{a_{n-1}}{2^{n-1}}\right|+\left|\dfrac{a_{n-1}}{2^{n-1}}-\dfrac{a_{n-2}}{2^{n-2}}\right|+\cdots +\left|\dfrac{a_2}{2^2}-\dfrac{a_1}{2}\right|\leqslant \dfrac 1{2^{n-1}}+\dfrac{1}{2^{n-2}}+\cdots +\dfrac 12=1-\dfrac{1}{2^{n-1}},\]由绝对值不等式可得\[\left|\dfrac{a_n}{2^n}-\dfrac{a_1}2\right|\leqslant 1-\dfrac{1}{2^{n-1}},\]再由绝对值不等式可得\[\dfrac{|a_1|}2-\dfrac{|a_n|}{2^n}\leqslant 1-\dfrac{1}{2^{n-1}},\]即\[ |a_n|\geqslant 2^{n-1}\left(|a_1|-2\right)+2,\]这样就证明了 $\left|a_n\right|\geqslant 2^{n-1}\left(\left|a_1\right|-2\right)\left(n\in \mathbb N^*\right)$．
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若 $\left|a_n\right|\leqslant \left(\dfrac 32\right)^n,n\in \mathbb N^*$，证明：$\left|a_n\right|\leqslant 2,n\in \mathbb N^*$．标注答案略解析本题可以考虑用反证法，若 $|a_n|>2$，那么第（1）小题结论给出的界和条件给出的界有冲突，从而推出矛盾．在（1）的基础上，不难证明对任意 $n,m\in\mathbb N$，有\[|a_{n+m}|\geqslant 2^{m}\left(|a_{n}|-2\right),\]只需要取 $n,n+1,\cdots ,n+m$ 的情形累加即得．结合已知条件，有\[\left(\dfrac 32\right)^{n+m}\geqslant 2^m\left(|a_n|-2\right),\]即\[ \left(\dfrac 34\right)^m\geqslant \left(\dfrac 23\right)^n \left(|a_n|-2\right).\]若 $|a_n|>2$，那么对任何正整数 $n$，右侧为确定的正数，记为 $f\left(n\right)$，此时取 $m=\left[{\log_{\frac 34}}f\left(n\right)\right]+1$，则有\[\left(\dfrac 34\right)^m<f\left(n\right)=\left(\dfrac 23\right)^n \left(|a_n|-2\right),\]矛盾．
因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
