根据预测，某地第 $n(n\in\mathbb N^*)$ 个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_n$ 和 $b_n$（单位：辆），其中 $a_n=\begin{cases}5n^4+15,&1\leqslant n\leqslant3,\\-10n+470,&n\geqslant4\end{cases}$，$b_n=n+5$．第 $n$ 个月底的共享单车的保有量是前 $n$ 个月的累计投放量与累计损失量的差．
【难度】
【出处】
2017年高考上海卷
【标注】
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（1）求该地第 $4$ 个月底的共享单车的保有量；标注答案$935$解析设第 $4$ 个月共享单车的保有量为 $M$，则$$M=(a_1+a_2+a_3+a_4)-(b_1+b_2+b_3+b_4),$$容易计算得\[\begin{split}&a_1=20,a_2=95,a_3=420,a_4=430,\\&b_1=6,b_2=7,b_3=8,b_4=9,\end{split}\]因此 $M=965-35=935$，即第 $4$ 个月底的共享单车的保有量为 $935$．
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（2）已知该地共享单车停放点第 $n$ 个月底的单车容纳量 $S_n=-4(n-46)^2+8800$（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超过了此时停放点的单车容纳量？标注答案保有量超过了容纳量解析由题，保有量最大即投放量小于等于损失量时，当 $1\leqslant n\leqslant3$ 时，可知$$5n^4+15>n+5,$$当 $n\geqslant4$ 时，考虑 $-10n+470\leqslant n+5$，解得$$n\geqslant\dfrac{465}{11}\approx42.3,$$即第 $42$ 个月底，保有量达到最大，设为 $N$，则$$N=(a_1+a_2+\cdots+a_{42})-(b_1+b_2+\cdots+b_{42})=8782,$$同时有$$S_{42}=-4(42-46)^2+8800=8736<8782,$$所以此时保有量超过了容纳量．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
