题目 已知函数 $f(x)=\sqrt 3 \cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-2\sin x\cos x$． 问题1 求 $f(x)$ 的最小正周期； 答案1 $\pi$ 解析1 将函数进行化简\[\begin{split}f(x)&\overset{[a]}=\sqrt 3 \left(\cos{2x}\cdot \dfrac 12 +\sin{2x}\cdot \dfrac{\sqrt 3}{2}\right)-\sin {2x}\\&=\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos {2x}+\dfrac 12 \sin {2x}\\&\overset{[b]}=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right),\end{split}\]上述式子中用到：$[a]$$[b]$<br/>所以最小正周期为 $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$． 备注1 问题2 求证：当 $x\in \left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，$f(x)\geqslant -\dfrac 12$． 答案2 略 解析2 因为 $x\in \left[-\dfrac {\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]$，所以$$-\dfrac{\pi}{6}\leqslant 2x+\dfrac{\pi}{3}\leqslant \dfrac{5\pi}{6}.$$所以当 $2x+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}$，即 $x=-\dfrac{\pi}{4}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $-\dfrac 12$．<br/>所以当 $x\in \left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，$f(x)\geqslant -\dfrac 12$ 恒成立． 备注2